淺談函數(shù)極值的求法及應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧資料
2024-09-03 10:55本頁面
【正文】 xxx???????? ○ 7 這樣 我們 就把 一個 條件極值問題轉(zhuǎn)化 成了討 論函數(shù) ○ 6 的無條件極值問題。 ○ 2 又 當(dāng) ? 滿足隱函數(shù)定理 的 條件時 ),( ),()( 00 000 yx yxxg yx?????。 如果 把條件 C 看 成是 ),( yx 所 在的曲線方程， 設(shè) 曲線 C 上的點(diǎn) ),( 000 yxP 為 函數(shù) f 在條件下 ○ 1 的極值點(diǎn)， 并 且在點(diǎn) 0P 的某鄰域內(nèi)方程 ○ 1 能唯一 地 確定 一個 可微的隱函數(shù))(xgy? ，則 0xx? 也 必定是 )())(,( xhxgxfz ?? 的極值點(diǎn)。 在求解的過程中，最傳統(tǒng)的方法是消元法，然而， 利用 Lagrange 數(shù)乘法就可以不直接依賴消元而求解條件極值問題。 海洋 中 魚類的過度捕撈，森林的亂砍濫伐，大氣污染等 的資源 問題，都是“牧童”經(jīng)濟(jì)學(xué)的案例。 這表明 沒有管理的 時候 共有草地有可能 會 被過度使用 ，從而無法取得最大利潤 。 將（ *）中的 n 個式子相加 得 0)()( *** ???? cXVnXXV 。 7 設(shè) *X 是使 整個牧場獲 得 最大利潤 的羊的總量，也就是 整個牧場的最優(yōu)飼養(yǎng)量。 而實(shí)際中，整個牧場 的最大利潤 應(yīng)該 是函數(shù) XcXXV ?)( 的最大 值。 因?yàn)?以上的計算 中我們考慮的 都是關(guān)于 ix 的 ， 所以， 得到的 *ix 是 指一下情況下的最優(yōu)飼養(yǎng)量 ，即每個牧民在增加飼養(yǎng)量時考慮的只是對自己的羊的 價值的 影響，而不是對 牧場上 所有羊的 價值的 影響。 這 就表明 第 i 個牧民的最優(yōu)飼養(yǎng)量 ix 是隨 著 其他牧民飼養(yǎng)的數(shù)目的增加而 逐漸 減少 的 。 在一階最優(yōu)化條件中對 )( ijxj ? 求導(dǎo)得 0)1)(()()1)(( ??????????????? jiijiji xxXVxxxXVxxXV 。這個方程說明了， 每增 加一只羊就會產(chǎn)生 正負(fù)兩 種效應(yīng)，正 效應(yīng)是這只羊本身的價值 )(XV 的增加，負(fù)效應(yīng)是這只羊的增加使之前已有 羊的價值減少（因?yàn)?0)( ?? XVxi ）。 O maxX X 圖 2 V 6 于是 為了取得最大利潤，羊的數(shù)量就要 滿足以下一階最優(yōu)化條件 （ *） 0)()( ??????? cXVxXVxP iii， ni ,...,2,1? 。 在我們構(gòu)建的模型中，如果每個牧民都會隨自己的意愿來選擇飼養(yǎng)羊的數(shù)目以最大化自己的利潤。 我們 從中看出 ，隨著羊 總量的逐漸 增加，其價值就會 隨之下降，并且總數(shù)增加得愈快，價值就下降得愈 快， 所以 我們假 設(shè) 0?dXdV ， 022 ?dXVd 。 因?yàn)橐恢谎蛐枰?吃 一定數(shù)量的草才不至于 被餓死，所以這片草地所能容納的羊的總數(shù)量 是有限的。我們 第 i 個牧民飼養(yǎng)的羊的數(shù)量 記為 ix ， ? ? ),...,2,1(,0 nix i ???? 。 我們將此問題構(gòu)造如下模型： 如果某 牧場 共 有 n 個牧民，他們共同占有同一 片草地，每個牧民都可以 在 這片 草地上 自由放牧 。 推論 1 假若 ),...,2,1(0d e t nkA k ?? ，則二次型 )(?g 正定 ，此時 )(0xf 為 它的 極小值； 假若 ),...,2,1(0d e t)1( nkA kk ??? ，則二次型 )(?g 負(fù)定 ，此時 )(0xf 為 它的 極大值。那么 ， 當(dāng)二次型 ??? nji jixx xfg ji1, 0 )()( ??? 正定時， )(0xf 為 函數(shù)的 極小值；當(dāng) )(?g 負(fù)定時， )(0xf 為 函數(shù)的 極大值；當(dāng) )(?g 不定時， )(0xf 不是極值。如果存在 0x 的 一個 鄰域 ),( 0 rxO ，使 )()( 0 xfxf ? （或 )()( 0 xfxf ? ）， ),( 0 rxOx ? ， 我們 稱 0x 是 f 的極大值點(diǎn)（或極小值點(diǎn)）；相應(yīng)地， 我們 稱 )(0xf 是其 相應(yīng)的極大值（或極小值）。 在 matlab 中求穩(wěn)定點(diǎn)，程序 見附錄 1。 由220 ????? ax 是其 唯一 的 穩(wěn) 定 點(diǎn) ， 且 由0)()( 322 2 ????? xa axL ?可 知， 0x 是 最小值點(diǎn)。 解：設(shè) xMC? ，則 xdAM ?? ， 22 xaBM ?? 。 （ ii） 若 n 為奇數(shù) ， f 在 0x 處不取極值。 第一極值條件對穩(wěn)定點(diǎn)和不可導(dǎo)點(diǎn)適用，第二條件用起來較簡便，但在以 下三種情況下不適用： )( 0xf? 不存在，即 0x 是不可導(dǎo)點(diǎn)； )( 0xf? 存在，但 )( 0xf? 不存在；0)()( 00 ????? xfxf 。 （ i） 如果 0)( 0 ??? xf ， 那么 )( 0xf 為極大值。 定理 3（極值的第二 充分條件） 假若 f 在點(diǎn) 0x 的某鄰域 )。 （ i） 如果 當(dāng) ),( 00 xxx ??? 時 0)( ?? xf ， 而 當(dāng) ),( 00 ??? xxx 時 0)( ?? xf ， 那么 )( 0xf 為 極小值。 （三）一元函數(shù)極值的充分條件 定理 2（極值的第一充分條件） 假若 f 在點(diǎn) 0x 某鄰域 )。 若 存在 一 點(diǎn) 0x 的某 個鄰域 ),(),( 0 baxO ?? ,使得 , ),(),()( 00 ?xOxxfxf ?? ,那么，稱 0x 是 )(xf 的一個極小值點(diǎn)， )( 0xf 就是其 相應(yīng)的極小值。 extremes with a condition。 the problem is often plicated in real life, however. So in this paper, further research on the extremes for multivariate function are given though laser number multiplication, and correspondingly gives the concrete reality model for applic
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