淺析凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧資料
2025-07-01 17:29本頁面
【正文】 要的函數(shù),廣泛應(yīng)用于數(shù)學(xué)規(guī)劃、控制論、黎曼幾何、,然后列出重要的相關(guān)性質(zhì),最后給出在微分學(xué)、積分學(xué)、以及在證明不等式中應(yīng)用.1 凸函數(shù)的定義及其相互關(guān)系 定義1 設(shè)在區(qū)間I上有定義,在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng):,有上式中“”改成“”則是嚴(yán)格凸函數(shù)的定義. 定義2 設(shè)在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng):有 定義3 設(shè)在區(qū)間I上有定義, 在區(qū)間I稱為是凸函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)：,有定義4 在區(qū)間I上有定義,當(dāng)且僅當(dāng)曲線的切線恒保持在曲線以下,切線嚴(yán)格保持在曲線下方,則稱曲線為嚴(yán)格凸的.引理1 定義2與定義3等價. 引理2 若連續(xù),則定義1，2，3等價.2 凸函數(shù)的性質(zhì) 定理1 設(shè)在區(qū)間I上有定義,則以下條件等價（其中各不等式要求對任意, 保持成立）：（i）在I上為凸函數(shù) （1） （ii） （2）(iii) （3）(iv) （4）推論1若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則I上任意三點，有.推論2 若在區(qū)間I上的凸函數(shù)，則過的弦的斜率 是x的增函數(shù)（若為嚴(yán)格凸的,則嚴(yán)格增）.推論3 若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則I上任意四點stuv有.推論4 若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對I上的任一內(nèi)點x,單側(cè)導(dǎo)數(shù)皆存在，皆為增函數(shù)，且 這里表示的全體內(nèi)點組成之集合.（若為嚴(yán)格凸的，則與為嚴(yán)格遞增的）.證明 因為內(nèi)點,故使得,從而（利用推論2）,.再由推論2所述,當(dāng)遞增時,如下極限存在且(x)= .同理,在此式中，令時,可知存在,可知與皆為增函數(shù).推論5 若在區(qū)間I上為凸的，則在任一內(nèi)點上連續(xù).事實上由推論4知與存在，所以在處左右都連續(xù).定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，則為凸函數(shù)的充要條件是：，使得,有 .證明（必要性）因為凸函數(shù)，由上面的推論4知，
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