【正文】 其 在多項(xiàng)式、向量 空間等中的 簡單 應(yīng)用 . 關(guān)鍵 詞 ： 行列 式 Vandermonde Vandermonde 行列式 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 Analysis of Vandermonde determinant Properties and Applications Abstract: Linear algebra and advanced algebra learning, the determinant is undoubtedly a key and difficult points, it is the followup course matrix, the basis of vector spaces and linear transformations, and its calculation with a certain regularity and skill. Vandermonde determinant is a very important determinant, it constructs a unique, beautiful form of special nature, is a shining pearl in the determinant. To enable us to further deepen the understanding and application of the Vandermonde determinant, and at the same time broaden their mathematical horizons, develop divergent thinking ability in order to better serve our research and living services, the paper mainly expounds the Vandermonde determinant permit law and its related properties, and introduced with examples of France and summarizes how to use the Vandermonde determinant for the calcu lation of some of the special determinant of the Vandermonde determinant polynomial, the vect or space. Keywords: Determinant Vandermonde Vandermonde determinant 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 目錄 1 引言 .................................................................. 1 2 VANDERMONDE 行列式的定義與證法 ...................................... 2 VANDERMONDE 行列式的定義 ........................................... 2 VANDERMONDE 行列式的證法 ........................................... 2 3 VANDERMONDE 行列式的性質(zhì) ............................................ 4 VANDERMONDE 行列式的翻轉(zhuǎn)與變形 .................................... 4 VANDERMONDE 行列式為 0 的充分必要條件 .............................. 5 VANDERMONDE 行列式推廣的性質(zhì)定理 .................................. 5 4 VANDERMONDE 行列式的應(yīng)用 ............................................ 7 VANDERMONDE 行列式在行列式計(jì)算中的應(yīng)用 ............................ 7 計(jì)算準(zhǔn) Vandermonde 行列式 .................................... 7 計(jì)算特殊的行列式 ............................................. 7 VANDERMONDE 行列式在多項(xiàng)式與向量空間中的應(yīng)用 .................... 10 Vandermonde 行列式在多項(xiàng)式中的應(yīng)用 ......................... 10 Vandermonde 行列式在向量空間中的應(yīng)用 ...................... 13 5 小結(jié) ................................................................. 15 參考文獻(xiàn) ............................................................... 16 謝辭 ................................................................... 17 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 1 1 引言 行列式最早出現(xiàn)在 17 世紀(jì)關(guān)于線性方程組的求解問題 中，由 日本 數(shù)學(xué) 家關(guān)孝和 德國數(shù)學(xué)家萊布尼茨 分別發(fā)明 ，而法國數(shù)學(xué)家范德蒙 德 ( monde， 17351796)對(duì)行列式理論做出 了 連貫的 、 邏輯的闡述， 并命名了著名的 Vandermonde 行列式 .后許多數(shù)學(xué)家如柯西 、 雅可比 、泰勒等對(duì)其 不斷發(fā)展完善， 做了進(jìn)一步的解析與應(yīng)用，使得 19 世紀(jì)中期行列式與向量、矩陣完美融合 .時(shí)至今日， 行列式 成為了線性代數(shù)與高等代數(shù)的 主要內(nèi)容 與重點(diǎn)內(nèi)容之一， 是后續(xù)課程 矩陣、向量空間和線性變換等的基礎(chǔ) ，而 vandermonde 行列式在 多項(xiàng)式、向量空間、線性方程組、線性變換、矩陣的特征值與特征向量、微積分等理論 中 都有大量應(yīng)用，例如對(duì) Cramer 法則的補(bǔ)充、 Lagrange 插值公式的推導(dǎo)、向量空間基的證明、與 Taylor 公式結(jié)合求微積分問題等 起 了重要的作用 [1]，而 其在簡化行列式計(jì)算方面，更是靈活巧妙，成為了廣大學(xué)生的有力工具 .出于對(duì) n 階 vandermonde 行列式 其 獨(dú)特的構(gòu)造、優(yōu)美的形式、特殊的性質(zhì)的好奇與喜愛，我查閱了大量的參考文獻(xiàn)后，決定 就 Vandermonde 行列式的證法與相關(guān)性質(zhì)，淺談其在 行列式計(jì)算、多項(xiàng)式、向量空間中的 基本 應(yīng)用， 使得 對(duì) vandermonde 行列式進(jìn)一步加深了解與應(yīng)用 ，培養(yǎng)自身的科研素養(yǎng) .當(dāng)然我相信， 隨著科技的進(jìn)步與更多數(shù)學(xué)家的進(jìn)一步研究， Vandermonde 行列式這顆璀璨明珠， 將會(huì) 在各領(lǐng)域綻放 更耀眼的光芒 . 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 2 2 Vandermonde 行列式的 定義 與證法 Vandermonde 行列式的 定義 我們把型如 nV? 121 1 1121 1 ... 1...... ... ... ......nn n nna a aa a a? ? ? 的 行列式叫做 Vandermonde 行列式 ， 其值為1 ()ijj i n aa? ? ? ??，即 nV? 121 1 1121 1 ... 1...... ... ... ......nn n nna a aa a a? ? ?=1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 其中1 ()ijj i n aa? ? ? ??表示 12, ,... na a a 這 n 個(gè)數(shù) 的所有可能 的差 ijaa? （ 1 j i n? ? ? ） 的乘積 （ 2n? ） [2]. Vandermonde 行列式的證法 方法一 ： 消元法 （降階法） [3] 證 明 從第 n 行開始，每一行加上前一行的 1a? 倍 ， 根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時(shí)有 nV