淺析vandermonde行列式的性質(zhì)與應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧
2025-06-11 21:42 本頁(yè)面
【正文】 . ... ... ......nn n nna a aa a a? ? ?=1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 其中1 ()ijj i n aa? ? ? ??表示 12, ,... na a a 這 n 個(gè)數(shù) 的所有可能 的差 ijaa? （ 1 j i n? ? ? ） 的乘積 （ 2n? ） [2]. Vandermonde 行列式的證法 方法一 ： 消元法 （降階法） [3] 證 明 從第 n 行開(kāi)始，每一行加上前一行的 1a? 倍 ， 根據(jù)行列式的性質(zhì)可知行列式的值不變，此時(shí)有 nV =)()(...)(0)()(...)(0..................011...111211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? 再 按行列式首項(xiàng)展開(kāi) 得： nV =1)()(...)()()(...)(...............1211211222131131123211112aaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaannnnnnnnnnnnnnnn???????????????????? 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 3 各列提公因式得： nV ? 2 1 1 1 1( ) ... ( ) ( )nna a a a a a?? ? ?2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. .......nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ?? 注意到行列式2 3 13 3 3 32 3 12 2 2 22 3 11 1 .. . 1 1..... . .. . .. . .. . .. .......nnn n n nnnn n n nnna a a aa a a aa a a a?? ? ? ??? ? ? ??是 1n? 階 Vandermonde 行列式 1?nV ，即已經(jīng)將 nV 用 1?nV 表示出來(lái) ,降了一階，并且少了一元 1a .重復(fù)用上述方法對(duì) 1?nV 再 進(jìn)行求解，經(jīng)過(guò)有限步 則 可以得到： 1nV? =（ ( 21aa? ) ? 1 1 1( )( )nna a a a? ??） ( ? ?3 2 1 2 2( ) ...( )nna a a a a a?? ? ?)?( 1nnaa?? ) =1 ()ijj i n aa? ? ? ?? 即證 . 方法二：數(shù)學(xué)歸納法 [4] 證 明 （ 1） 當(dāng) 2n? 時(shí) , 2 2 1121 1 V a aaa? ? ?成立 . （ 2） 假設(shè) 對(duì)于 1n? 階成立， 則 對(duì)于 n 階 ， 首先構(gòu)造一個(gè)輔助的 n 階行列式 ： 11n112112212221121)( 1 1 1 1???????nnnnnnxxaaaxaaaxaaaV????????? 顯然， na VV n ?)(，將 )(xV 按第 n 列展開(kāi)，得： 1)( ?xV nA1 x? nA2 2x? 13 ??? nn xA ? nnA 其中 ),2,1( niAin ?? 是行列式 )(xV 中元素 ),2,1(1 nixa iin ??? ? 的代數(shù)余子式，且不寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 4 含 x ， 因此可知 )(xV 是一個(gè) n1 次的多項(xiàng)式，它的最高次 1?nx 的系數(shù)是 nnA ，按定義知 11)1( ??? ??? nnnnnn VVA .另一方面，根據(jù)行列式的性質(zhì)知 121 , ?naaa ? 是 )(xV的 n1 個(gè)根，根據(jù)多項(xiàng)式的理論，得： )())(( 1211)( ?? ???? nnx axaxaxVV ? 取 nax? 代入，得： )())(( 1211)( ?? ???? nnnnnx aaaaaaVV ? 即 )())(( 1211 ?? ???? nnnnnn aaaaaaVV ? 根據(jù)歸納假設(shè)， 1?nV =11()ijj i n aa? ? ? ? ??，因此 nV =1 ()ijj i n aa? ? ? ??. 由（ 1）（ 2）結(jié)論得 證 . 3 Vandermonde 行列式的性質(zhì) Vandermonde 行列式的翻轉(zhuǎn)與變形 nV?121 1 1121 1 ... 1...... ... ... ......nn n nnx x xx x x? ? ? (1)將 Vandermonde 行列式逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，得 11 ( 1 )11 211111 ( 1 )1nnnn nnnnnnxxxx Vxx?? ??????. (2)將 Vandermonde 行列式順時(shí)針旋轉(zhuǎn) 90 ，得 1111 ( 1 )22 2111 ( 1 )1nn nnnnnnxxxx Vxx?? ????. (3)將 Vandermonde 行列式旋轉(zhuǎn) 180 ，得 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 5 1 1 111111 1 1n n nnnnnx x xVx x x? ? ????. Vandermonde 行列式為 0 的充分必要條件 一個(gè) Vandermonde 行列式 121 1 1121 1 ... 1...... ... ... ......nn n nna a aa a a? ? ?為 0 的充分必要條件是 ： 12, , , na a a 這 n個(gè)數(shù) 中至少有兩個(gè)相等 . Vandermonde 行列式 推廣的性質(zhì)定理 行列式 ()nkV = 122 2 2121 1 1121 1 112121 1 ... 1......... ... ... ............ ... ... ......nnk k knk k knn n nnx x xx x xx x xx x xx x x? ? ?? ? ?=1212... ... nknk p p pp p p x x x ??? V (k=0,1,2?n 1) 其中 符號(hào)“ ()nkV ”中的下標(biāo)“ n”表示 n 階行列式 ， “ (k)”表示僅缺少的 k 次方冪元素行； 12, ... nkp p p ? 是 1,2,...n 中（ nk? ）個(gè)數(shù)的一個(gè)正序排列 ；12... nkpp p??表示對(duì)所有（ nk? ）階排列求和 ；1 (x x )ijj i nV ? ? ?? ?[5]. 證 明 （ i）在行列式 ( ) 1, 2( ... )n k nV x x x 中增補(bǔ)第（ 1k? ）行和（ 1n? ）列相應(yīng)的元素 ， 考慮（ 1n? ）階 Vandermonde 行列式 寧夏師范學(xué)院 20xx 屆本科畢業(yè)生畢業(yè)論文 6 121 1 1 11212121 1 1 112121 1 .. . 1 1..... . .. . ..
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