淺析凸函數(shù)的性質(zhì)及其應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-10 17:29 本頁面
【正文】 I上為凸函數(shù) （1） （ii） （2）(iii) （3）(iv) （4）推論1若在區(qū)間I上為凸函數(shù)，則I上任意三點(diǎn)，有.推論2 若在區(qū)間I上的凸函數(shù)，則過的弦的斜率 是x的增函數(shù)（若為嚴(yán)格凸的,則嚴(yán)格增）.推論3 若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則I上任意四點(diǎn)stuv有.推論4 若是區(qū)間I上的凸函數(shù)，則對I上的任一內(nèi)點(diǎn)x,單側(cè)導(dǎo)數(shù)皆存在，皆為增函數(shù)，且 這里表示的全體內(nèi)點(diǎn)組成之集合.（若為嚴(yán)格凸的，則與為嚴(yán)格遞增的）.證明 因?yàn)閮?nèi)點(diǎn),故使得,從而（利用推論2）,.再由推論2所述,當(dāng)遞增時(shí),如下極限存在且(x)= .同理,在此式中，令時(shí),可知存在,可知與皆為增函數(shù).推論5 若在區(qū)間I上為凸的，則在任一內(nèi)點(diǎn)上連續(xù).事實(shí)上由推論4知與存在，所以在處左右都連續(xù).定理2 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有定義，則為凸函數(shù)的充要條件是：，使得,有 .證明（必要性）因?yàn)橥购瘮?shù)，由上面的推論4知， 存在且. ,所以對任一:恒有. (充分性)設(shè)是區(qū)間I上的任意三點(diǎn)，由已知條件,由此令和，可以得到,由定理1可知為凸的. 定理3 設(shè)在區(qū)間I上有導(dǎo)數(shù)，則在I上為凸函數(shù)的充要條件是遞增. 證明 （充分性）,不妨設(shè)及記，則,或 (1)由于 (1)式等價(jià)于 (2)應(yīng)用定理，使得，但,.故（2）式左端=按已知條件遞增，得知,從而上式0,(2)式獲證.（必要性）由定理1的推論4,在內(nèi)為遞增的，因存在，故亦在內(nèi)為遞增的，若I有右端點(diǎn)b,按照已知條件f在b點(diǎn)有左導(dǎo)數(shù)，易知: 同理，若I有左端點(diǎn)a,則即在I上為遞增的.推論 若在區(qū)間I上有二階導(dǎo)數(shù)，則在I上為
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