微分中值定理的推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫吧
2025-06-10 16:20 本頁面
【正文】 關(guān)于三個中值定理新的證明方法………………………………………………4 微分中值定理的推廣………………………………………………………………6 微分中值定理的弱逆定理……………………………………………………… 104 微分中值定理的應(yīng)用…………………………………………………………………11 利用微分中值定理證明等式……………………………………………………11 利用微分中值定理證明不等式…………………………………………………14 討論方程根的存在性 …………………………………………………………15結(jié)束語……………………………………………………………………………………18參考文獻(xiàn)…………………………………………………………………………………18致謝………………………………………………………………………………………180緒論微分中值定理是包括Rolle定理、Lagrange定理、，理論知識也不斷完善，成為了人們引進(jìn)微分學(xué)以后，數(shù)學(xué)研究中的重要工具之一，；函數(shù)圖象的走向；曲線凹凸性的判斷；積分中值定理；級數(shù)理論；，微分中值定理構(gòu)成了整個微分學(xué)基礎(chǔ)而重要的內(nèi)容.1 微分中值定理及相關(guān)概念所謂微分中值定理,其實是指一個(或多個),微分中值定理就是包括羅爾定理、拉格朗日中值定理、.定義1 (最小值或最大值) 設(shè)在上有定義,若存在使任意,(),則稱為的最小值(最大值).為最小值點(最大值點).定義2 (極小值或極大值) 設(shè)在任意上有定義,若存在任意,都有 (),則稱為的一個極小值(極大值),稱為極小值點(極大值點).定義3 (極限的局部保號性) 若,則存在任意使得.定義4 (函數(shù)單調(diào)性) 函數(shù)在定義域內(nèi),當(dāng)時,有則稱單調(diào)遞增(嚴(yán)格單調(diào)遞增).當(dāng)時,有,則稱單調(diào)遞減(嚴(yán)格單調(diào)遞減).定義5(凸性) 若函數(shù)曲線位于其每一點處切線的上方(下方),則稱函數(shù)曲線時下凸(上凸)的,或稱函數(shù)向下凸(上凸).定義6(凹性) 若的一階導(dǎo)數(shù)在上單調(diào)遞增(或遞減),則稱在是向上凹(下凹)的,或稱函數(shù)曲線向上凹(下凹).2 微分中值定理普遍的證明方法 費馬定理定理1 ,且在處可導(dǎo),則.費馬定理的幾何意義:若將函數(shù)的曲線置于平面直角坐標(biāo)系,則費馬定理具有幾何意義:對曲線上,若有一點存在切線,.證明 ,則存在任意,有,若,則 。若,則 。取極限與分別為、,由于在處可導(dǎo),則==由極限的局部保號性有, .故 ==.所以有 , 即. 羅爾中值定理 定理2 設(shè)滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。 (2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。 (3) ,則至少存在一點使得.羅爾定理的幾何意義:若滿足羅爾定理的條件,則在曲線上至少存在一點,使得點處的切線平行于軸(如圖), 其中,.證明 由于在閉區(qū)間上連續(xù),從而存在最大值,最小值.若則對任意有,即為常函數(shù),所以.若,不妨設(shè),則有,且在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)費馬定理可知 .證畢. 拉格朗日中值定理 定理3 若函數(shù)滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)。則至少存在一點使得.證法 利用羅爾中值定理,構(gòu)造輔助函數(shù)..證明 作輔助函數(shù),顯然,在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,由羅爾定理可知,存在一點 使得 即.推論 設(shè)、都在區(qū)間上可導(dǎo),且,則 柯西中值定理 定理4 設(shè)函數(shù)、滿足:(1) 在閉區(qū)間上連續(xù)。(2) 在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且，則至少存在一點使得
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