微分中值定理的推廣及其應用畢業(yè)論文-wenkub
2023-07-10 16:20:08 本頁面
【正文】 ,而,故有,即的兩個零點間一定存在的零點.例15 證明:若,則多項式在內(nèi)至少有一個實根.證明 令則,又有在連續(xù)可導,且,滿足羅爾定理的條件,故存在使得即,結(jié)論得證.例16 若函數(shù)在上非負,且三階可導,.證明 因為方程在內(nèi)有兩個不同的實根,設其分別為所以,又由于非負，根據(jù)極值定義可以知道為的兩個極值點,所以有又因為滿足羅爾定理，所以存在使得 ,又三階可導，所以滿足羅爾定理,即存在,使得 ,同樣滿足羅爾定理,則存在使得.證畢.例17 設,則方程在內(nèi)有解.證明 將待證問題轉(zhuǎn)化為中值問題:存在使得,即,根據(jù)柯西中值定理直接得證,即方程在內(nèi)有解.例18 若函數(shù)在可導,對與之間的任意數(shù),則在內(nèi)至少存在一點,使得.證明 .作輔助函數(shù) , 與,即與 .由極限保號性,存在,使得,從而,.存在,使得 ,從而, .于是,有,即.結(jié)束語由上所述,我們發(fā)現(xiàn)微分中值定理的證明除了構(gòu)造輔助函數(shù),還可以利用其他的證明方法加以證明,利用微分中值定理還可以導出洛必達法則,(極值、最值、凹凸性)也要用到微分中值定理的結(jié)論. 深入研究微分中值定理,有助于加深對這些定理的理解。 郝佳. 微分中值定理的延伸及應用[J]. 遼寧師專學報. 2011（01）68[5] 張曉彥。方法[M].科學教育出版社 2007致謝在論文的寫作過程中，我得到了很多熱心人的幫助，特別是感謝宋老師以及給與我悉心的指導的朋友們，并引導我翻閱了大量的書籍，對論文進行了多次、都使我受益匪淺，在此謹向宋老師致以衷心的謝意！。 徐湘云. 微分中值定理的解題應用[J].中小企業(yè)管理與科技(上旬刊). 2010(08) 158[8] 胡適耕，：定理時空教育 . 2009(02) 166[3] 童蓓蕾。(2) 在內(nèi)可導,證明存在,使得.證明 證法同例2,令即可證得.小結(jié) 如例3,例7中用羅爾定理證明,需要構(gòu)造出原函數(shù),此類函數(shù)有固定的原型,利用微分中值定理容易得到想要證明的結(jié)論.例4 設,在上連續(xù),在內(nèi)可導, .則有使得.證明 由于,且在上連續(xù)在內(nèi)可導，所以,必存在使得,根據(jù)羅爾定理,存在使得 .例5 證明恒等式:. 證明 令,則,所以,，所以,即成立.例6 設且在上連續(xù),.證明 變換待證等式為 其中,顯然,利用羅爾定理即可得.例7 設,在內(nèi)可導,則存在,使得.證明 變換待證等式為,所以,其中,于是,在上滿足羅爾定理,從而有結(jié)論.若待證等式明顯可表示為的形式,則很可能就是,因而,可以利用柯西定理證明.例8 設,在連續(xù)可導,則存在使得.證明 令則,且,在上連續(xù)在內(nèi)可導,根據(jù)柯西定理,存在使得,即. 利用微分中值定理證明不等式利用拉格朗日中值定理或柯西中值定理證明不等式時,常將待證不等式變形為 的形式,且滿足拉格朗日或柯西定理的條件,再證明對一切的有,最后利用中值定理證明.例9 證明對任何正數(shù)、有 .證明 令,.則在上連續(xù),在內(nèi)可導,根據(jù)拉格朗日中值
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