微分中值定理的推廣及其應用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 16:20 本頁面
【文章內容簡介】 .證明 由定理條件可知,則任意都有,因此,只需證 ,為此,構造函數,顯然,在上連續(xù),在內可導,且,根據羅爾定理,存在,使得,即, 所以.3 中值定理的推廣微分中值定理在數學分析中甚至是整個數學領域都占有非常重要的地位,其證明方法也有多種. 關于三個中值定理新的證明方法 羅爾定理的新證法引理1非單調函數在上連續(xù),在內可導,則存在一點,使得.證明 因為在上連續(xù),且非單調,故在點可導,由費馬定理可知.羅爾定理的新證法 證明 因為,且. （1） 若為常數,則必有，所以,存在,使得。（2） 若不是常數,則非單調,又有在上連續(xù)在內可導,根據引理1,存在,使得 .證畢. 拉格朗日中值定理的新證法證明（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進而(1). 柯西中值定理的新證法 證明 首先構造輔助函數,由于,由費馬定理可知,必存在 ,對于任意,其中,.又由復合函數連續(xù)性定理即含參變量函數定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù)。在開區(qū)間內可導,且故即是要證明,因此可構造輔助函數:,可以驗證滿足羅爾定理的條件,故至少存在一個,使得知,至少存在使得成立,柯西中值定理得證. 微分中值定理的推廣 微分中值定理是微分學的核心內容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,. 羅爾定理的推廣 定理5 設在內可導,且,其中,則存在使得.證明 由于在內可導,則必有在上連續(xù),又有. (1)當時,對在兩點進行連續(xù)延拓,使得,則有在上連續(xù),在內可導且有,所以,滿足羅爾定理的條件,存在使得.(2)當時,由于,故存在,使得,所以在上連續(xù),在內可導,滿足羅爾定理,即存在使得.綜上所述,存在使得. 定理6(推廣一) 設在上連續(xù),在內可導,則存在使得.證明 作輔助函數,很明顯在連續(xù),在內可導,且,則根據羅爾定理有,存在使得,命題得證.定理7(推廣二) 若在有限開區(qū)間內可導,且與存在,則至少存在一點使得.證明 （1）當時,由定理5可知,結論成立.（2）當時,作輔助函數,由在內可導知,在內也可導,又因為。,根據定理5可知,即.綜上所述,存在一點使得. 定理8(推廣一) 在連續(xù),在內可導,任意,.證明 作一個輔助函數,則在連續(xù),在內可導,且,所以在上滿足羅爾定理,即存在使得.因為,所以,即得.定理9(推廣二) 若在有限或無窮區(qū)間中的任意一點有有限導數和,任意,,都存在,則至少存在一點使得 .證明 首先證明.假設即,根據定理5可知,.其次,作輔助函數由已知得在可導且,所以,.根據定理5可知,至少存在一點使得即. 微分中值定理的推廣定理10 設函數在上連續(xù), 在內可導,且,則在內至少存在一點,使得 .證明 根據題意,設顯然在上連續(xù), 在
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