微分中值定理的推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-22 16:20 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 .證明 由定理條件可知,則任意都有,因此,只需證 ,為此,構(gòu)造函數(shù),顯然,在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,根據(jù)羅爾定理,存在,使得,即, 所以.3 中值定理的推廣微分中值定理在數(shù)學(xué)分析中甚至是整個數(shù)學(xué)領(lǐng)域都占有非常重要的地位,其證明方法也有多種. 關(guān)于三個中值定理新的證明方法 羅爾定理的新證法引理1非單調(diào)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在一點,使得.證明 因為在上連續(xù),且非單調(diào),故在點可導(dǎo),由費馬定理可知.羅爾定理的新證法 證明 因為,且. （1） 若為常數(shù),則必有，所以,存在,使得。（2） 若不是常數(shù),則非單調(diào),又有在上連續(xù)在內(nèi)可導(dǎo),根據(jù)引理1,存在,使得 .證畢. 拉格朗日中值定理的新證法證明（利用分析法證明拉格朗日中值定理）要證存在使得 成立，即證,存在使得 (1) (2)記,則由滿足羅爾定理的條件知,存在使得(2)成立,進而(1). 柯西中值定理的新證法 證明 首先構(gòu)造輔助函數(shù),由于,由費馬定理可知,必存在 ,對于任意,其中,.又由復(fù)合函數(shù)連續(xù)性定理即含參變量函數(shù)定理可證得在閉區(qū)間上連續(xù)。在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且故即是要證明,因此可構(gòu)造輔助函數(shù):,可以驗證滿足羅爾定理的條件,故至少存在一個,使得知,至少存在使得成立,柯西中值定理得證. 微分中值定理的推廣 微分中值定理是微分學(xué)的核心內(nèi)容,而隨著其不斷地發(fā)展和完善,. 羅爾定理的推廣 定理5 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且,其中,則存在使得.證明 由于在內(nèi)可導(dǎo),則必有在上連續(xù),又有. (1)當(dāng)時,對在兩點進行連續(xù)延拓,使得,則有在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)且有,所以,滿足羅爾定理的條件,存在使得.(2)當(dāng)時,由于,故存在,使得,所以在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),滿足羅爾定理,即存在使得.綜上所述,存在使得. 定理6(推廣一) 設(shè)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),則存在使得.證明 作輔助函數(shù),很明顯在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,則根據(jù)羅爾定理有,存在使得,命題得證.定理7(推廣二) 若在有限開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo),且與存在,則至少存在一點使得.證明 （1）當(dāng)時,由定理5可知,結(jié)論成立.（2）當(dāng)時,作輔助函數(shù),由在內(nèi)可導(dǎo)知,在內(nèi)也可導(dǎo),又因為。,根據(jù)定理5可知,即.綜上所述,存在一點使得. 定理8(推廣一) 在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),任意,.證明 作一個輔助函數(shù),則在連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),且,所以在上滿足羅爾定理,即存在使得.因為,所以,即得.定理9(推廣二) 若在有限或無窮區(qū)間中的任意一點有有限導(dǎo)數(shù)和,任意,,都存在,則至少存在一點使得 .證明 首先證明.假設(shè)即,根據(jù)定理5可知,.其次,作輔助函數(shù)由已知得在可導(dǎo)且,所以,.根據(jù)定理5可知,至少存在一點使得即. 微分中值定理的推廣定理10 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在內(nèi)可導(dǎo),且,則在內(nèi)至少存在一點,使得 .證明 根據(jù)題意,設(shè)顯然在上連續(xù), 在
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