【文章內容簡介】 ?????????????000221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa??????? (224) 克萊姆法則及其應用 8 存在非零解的充要條件。 首先來證明必要性 :利用反證法來對其必要性進行證明。假設 | | 0ijna ?。根據克萊姆法則，方程組 (224)有解且解唯一確定，而由已知得齊次方程組 (224)有零解 ,所以，方程組不存在非零解，這與開始的假設相矛盾。 接下來證明充分性 : 已知 | | 0ij na ?，根據引理可得，方程組 (224)與方程組 ???????????????00022221212111nnnnnnnxbxbxbxbxbxb?????? （ 225） 是有同解的 , 并且 011 ?? nnnijabb ? 。此時 , 最少有一個 0iib? 。我們假設在常數項 11,b nnb 存在零，且第一個零為 kkb ，將 11, 0k k nx x x?? ? ? ?代入（ 225）可得 ???????????????????????12111,112,222211,1212111kdxbdxbxbdxbxbxbkkkkkkk?????? （ 226） 新方程組的系數行列式 01,111 ?? ?? kkbbD ? 。由克萊姆法則可得，方程組（ 226）的解存在且唯一。方程組（ 224）的一組非零解為方程組（ 226）的解與 0,1 1 ??? ? nkk xxx ? 的組合。 克萊姆法則的一個新證明 我們已經在論文的第一章中對克萊姆法則做了詳細的介紹。下面介紹一個新的克萊姆法則證明方法。 假設一個方程組中方程個數為與未知量個數都為 n 。 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 其中 ija 是系數， ib 是常數項， lx 是未知量。方程組 )(1E 的系數矩陣用 1EA 表示，系數矩陣行列式的值用 )det( 1EA 表示。用常數項列向量 ? ?nbbb ?21 來替換系數矩陣的 1EA 的第 i 列，變換后的新方陣用 )1(, EiA 表示。若 0)det( ?EiA ，則線 克萊姆法則及其應用 9 性方程組存在解向量，解向量的值唯一確定。 TEEnEEEE AAAAAA ??????)1()1(,)1()1(,2)1()1(,1 de tde t,de tde t,de tde t ?? 證明：已知 0det )1( ?EA ，因此 1EA 是可逆的，將 1EA 進行初等變換，轉換為單位矩陣，用 )(EmA 表示 將線性方程組 )(1E 進行初等變換，把其對應的矩陣變?yōu)閱挝痪?陣)()3()2( , EmEE AAA ?? 。由于 IAEm?)( ，可知 )(mE 具有以下形式： ? ?1122,:,nnxcxcEmxc??? ????? ?? 經過初等變換所得到的線性方程組的解相同，單位矩陣 )(mE 具有唯一解向量存? ?Tnccc ?21 。對于任意正整數 t ， ? ?? ?? ?? ?1de t ,de t de t ,de t ,EtE t E tEtAAAkA?? ???? ?? ??? 成立，所以任意正整數 t ， i 始終滿足下列等式：)()(,)1()1(, d e td e td e td e tEtEtiEtEti AAAA ??? 注意到 ? ?12,111,11i E minccAcc????????????? 所以對于任意 i ，滿足 iEmi cA ?)(det ， nnEm IA ??)( 且為單位矩陣，所以 1det )( ?EmA 克萊姆法則及其應用 10 由此得線性方程 )(EI 有唯一的解向量 ? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?? ?12121 , 2 , ,1 , 1 2 , 1 , 11 1 1, , , , 39。, , , 39。1 1 1de t de t de t, , , , 39。de t de t de tde t de t de t, , , , 39。de t de t de tnnE m E m n E mE m E m E mE E n EE E Ec c ccccA A AA A AA A AA A A??? ??????? ??????? ???? 克萊姆法則及其應用 11 第三章 克萊姆法則的推廣 通過前兩章介紹可以看出，克萊姆法則適用范圍較窄，所求方程個數必須與未知數一致。當方程 系數行列式為非 0時，利用克萊姆法則能夠獲得該線性方程組的解。當方程個數與未知數個數不等、或行列式為 0時，該法則便不再適用。除此之外，利用該法則求解方程的計算量也比較大。 針對其局限性，我們現在將克萊姆法則進行改進，推廣到 對于廣義行列式也同樣成立。 如果 0)det( ?A ，則非齊次線性方程組： 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnn n n n n na x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 有唯一解。 在上文中已經有詳細的介紹，利用克萊姆法則便能求解，但如果現給定一個長方形線性方程組，則需要將克萊姆法則推廣為廣義克拉默法則。 1 1 1 1 2 2 1 12 1 1 2 2 2 2 21 1 2 2nnnnm m mn n ma x a x a x ba x a x a x ba x a x a x b? ? ? ??? ? ? ? ????? ? ? ? ?? 首先將它寫成矩陣的形式： BAX? 這里 ???????????????????????????????????nnnnnnnn bbbBxxxXaaaaaaaaaA ?????????2121212221212111, 公式中 A 為一個 nm? 的實矩陣， B 為一個 1?m 的實矩陣。且( ) ,rank A m n B?? 系數行列式 AD? 如果方程組的系數行列式 0?D ，則該方程的解存在且唯一確定： DDxDDxDDx nn ??? , 2211 ? 克萊姆法則及其應用 12 其中 )3,2,1( njDj ?? 是用方程組的常數列 B 來代替 D 的第 j 列元素，其余行列式不變，從而得到的 n 階行列式。 克萊姆法則及其應用 13 第四章 克萊姆法則的應用 克萊姆法則在解線性方程組中的應用 首先通過兩個具體例子來介紹克萊姆法則在低階線性方程組中的應用。 情形 1：方程個數與未知量個數相同，即 nm? 。 情形 ：系數行列式不為零（ 0?D ) 例 1 求解下列方程組： ??????????????6154699536623zyxzyxzyx 解 0271546953623???D ,方 程 組的 解存 在， 利用 克萊 姆法 則 得54646953623,811566993663,1081546959626321 ??????? DDD