矩陣初等變換及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-22 11:59 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 量的個數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩小于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性無關(guān)。例1 已知，，試討論向量組b1,b2,b3和向量組b1，b2的線性相關(guān)性。解：（b1,b2,b3）= r（b1,b2,b3）=2,向量組b1,b2,b3線性相關(guān)；r（b1,b2）=2，向量組b1,b2線性無關(guān)。例2 k取何值時，向量組，線性無關(guān)。 解：構(gòu)造矩陣（），由于 = 當k2時，矩陣的秩等于3，等于向量的個數(shù)，線性無關(guān)。定義：向量組的一個部分向量組叫做一個極大線性無關(guān)部組（簡稱極大無關(guān)組），如果 （1）線性無關(guān)； （2）每一，j=1，…n，都可以由線性表示。 利用矩陣的初等變換將向量組堪稱某個矩陣A的列（行）向量組，然后用初等行（列）變換將A化為階梯形矩陣B，則向量組的秩等于階梯形矩陣B的非零行（列）的行（列）數(shù)，在B中找出一個階數(shù)最高的非零子式，那么與中這r列（行）相對應(yīng)的r個向量就是原向量組的一個極大無關(guān)組。例3 求向量組，，的極大線性無關(guān)組，并將其余向量用極大線性無關(guān)組表示。 解：設(shè)A==。對A作初等變換，將其化為行階梯矩陣，即 A= 故r（A）=3。該行階梯矩陣每個非零行第一個非零元所在的列為第1，2，4列，所以，向量組的一個極大線性無關(guān)組為，且。 向量組的極大無關(guān)組不是唯一的，但向量組的任意兩個極大無關(guān)組之間等價。一個向量組的所有極大無關(guān)組所含的向量的個數(shù)都是相同的。一個由非零向量組成的向量組必有最大無關(guān)組，若向量組線性無關(guān)，則此向量組本身就是一個最大無關(guān)組；若向量組線性相關(guān)，則此向量組中必存在最大無關(guān)組。求向量空間兩個基的過渡矩陣 過渡矩陣是線性空間理論中非常重要的概念之一。求向量空間的一組基到另一組基的過渡矩陣，最直接的方法便是按過渡矩陣的定義先列出一組等式，進而需求解n個非齊次線性方程組，然后寫出過渡矩陣，其間運算量很大，為了簡化計算，下面將介紹用行初等變換的方法求的一組基到另一組的過渡矩陣。定義1：設(shè)和{}是n維向量空間V的兩個基。于是我們知向量，j=1， ，n，可以由線性表示。我們設(shè) 這里()就是關(guān)于基的坐標。以這n個坐標為列，作一個n 階矩陣T=，矩陣T叫做由基到基{}的過渡矩陣。求過渡矩陣的方法為：先寫出這個向量空間的標準基到這兩個基和{}的過渡矩陣A和B。我們有=A,( ) =B。于是()=A1B。因此，由基到基{}的過渡矩陣是A1B。 求A1B的方法：將分塊矩陣進行行初等變換，當前一塊變成單位矩陣時，后一塊即為A1B。例1 已知,與,為線性空間R4的兩組基。求由到的過渡矩陣。 解：設(shè)A為由基到的過渡矩陣，則（）=（）A。B、C為標準基到這兩個基的過渡矩陣，則A=B1C。 =.得到A==。若矩陣T是基到基{}的過渡矩陣，那么由基{}到基得過渡矩陣就是。化二次型為標準形定義1：含有n個變量的二次齊次函數(shù)=（）稱為二次型。定義2：若二次型=經(jīng)可逆變換x=Cy變成只含平方項，即 =這種只含平方項的二次型，稱為的標準型。利用初等變換將二次型化為標準型的過程如下： （其中為對角陣）對A進行兩次變換（一次列變換和一次對應(yīng)的行變換或一次行變換和一次對應(yīng)的列變換），對E僅進行一次相應(yīng)的列變換，兩次變換一定要對應(yīng)，且對E的列變換與對A的列變換要相同。此法的優(yōu)點是：經(jīng)初等變換后可同時求出對角陣及所用的非退化線性變換矩陣P，從而直接寫出所用的非退化的線性變換。例1 用初等變換法將二次型化為標準形，并寫出所用的可逆線性變換。 解：二次型的矩陣為A=，又有=,故可逆線性變換 化二次型為。例2 用初等變換法將二次型化為標準型。解：==，所求P=。經(jīng)非退化線性變換x=Py可化為標準型=。 由于采用的初等變換方法不同，所以得到的和P可能不同。由此
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