矩陣初等變換及其應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2024-08-05 11:59本頁面
【正文】 計算格式有不同的原理，所以它們的應(yīng)用也有一些明顯的區(qū)別。初等行、列變換統(tǒng)稱為初等變換。定理1：對mn矩陣A，作一次初等行（列）變換所得的矩陣B，等于以一個相應(yīng)的m階（n階）初等矩陣左（右）乘A。由于側(cè)重實際應(yīng)用方面，在表述方面著重講清基本概念、原理和計算方法，避免繁瑣、冗長的理論推導(dǎo)和證明，力求簡明準(zhǔn)確；將抽象的理論，從具體問題入手，通過典型例題對基本概念、所涉及的方法進行融會貫通。行階梯形矩陣的秩等于它的非零行數(shù)，行階梯形矩陣的秩就是原矩陣的秩。定義1：在mn矩陣A中，任取k行k列（km，kn），位于這些行列交叉處的個元素，不改變它們在A中所處的位置次序二而得到的k階行列式，稱為A的k階子式。定理1：初等變換不改變矩陣的秩。例1 求矩陣A的秩，A=。所以由推論得：A的秩為3。解：A==B所以r（B）=2，r（A）=r（B）=2。判斷矩陣是否可逆及求逆矩陣 可逆矩陣在線性代數(shù)中具有很重要的地位，但若是用伴隨矩陣的方式來求一個矩陣的逆矩陣工作量非常大。利用初等變換判定矩陣為可逆陣的方法有：1） 滿秩法：n階矩陣A為可逆陣的充要條件是r（A）=n。定理1：矩陣A為可逆矩陣的充分必要條件是A可以表示為有限個初等矩陣的乘積。解：1）滿秩法：A=， 所以r（A）=3，即矩陣A為滿秩，故矩陣A可逆。一種求逆的方法：將分塊矩陣進行行初等變換，當(dāng)前面一塊變成單位矩陣時，后面一塊就是。解：因為A=有所以=。例3 已知矩陣A= 可逆，用列初等變換法求。在用初等變換法求逆的過程中，或從始至終只作行的初等變換，或從始至終只作列初等變換。判斷線性方程組解的狀況齊次線性方程組有個明顯的零解x=0，稱其為平凡解。定理1：n元齊次線性方程組Ax=0有非零解的充分且必要條件為它的系數(shù)矩陣的秩r（A） n。定理2：n元非齊次線性方程組Ax=b有解的充分必要條件是系數(shù)矩陣A的秩等于增廣解陣的秩。當(dāng)r（A）小于r（B）時，方程組無解；當(dāng)r（A）等于r（B）等于未知量的個數(shù)時，方程組有唯一解；當(dāng)r（A）等于r（B）并小于未知量的個數(shù)時，方程組有無窮多解。解：齊次線性方程組有非平凡解，必有系數(shù)矩陣A的秩r（A）A= 為了使r（A）3，必須+8=0，即=8時齊次線性方程組有非平凡解。例3 討論取何值時方程組有唯一解、無窮多解、無解。當(dāng)=2時，r（A）=2r（B）=3，方程組無解。解線性方程組的一般解及基礎(chǔ)解系線性代數(shù)的起源之一，是解線性方程組的問題。這種方法有三個基本操作：方程組中兩個方程互換，一個方程兩邊乘一非零常數(shù)，一個方程加另一個方程的若干倍。（2） 將增廣矩陣進一步化為行最簡形矩陣；（3） 寫出同解方程組（用自由未知量表示其余未知量）；（4） 寫出方程組的通解（參數(shù)形式或向量形式）。解：設(shè)B是線性方程組的增廣矩陣，于是B= 于是，得到同解的方程組為將這方程組改寫為通過回代，將作為自由未知量，得到原方程組的一般解： 。解：A= ，得到一般解：由此可得到方程組的一個基礎(chǔ)解系為。再通過回代得到原方程組的一般解。但是，在實際解方程組時，我們不必要這么做，更不要把最后一列與前面某一列交換。證向量的線性相關(guān)性、求向量組的極大無關(guān)組求向量組的極大線性無關(guān)組,最方便,最常用的方法可能要數(shù)初等變換法了，這也是我們最容易掌握的。如果存在F中不全為零的數(shù)a1，a2， ar使得 ，那么就說線性相關(guān)。如果它的一個部分組滿足：（1）線性無關(guān)；（2）任取T，則，線性相關(guān)。定理1：設(shè)rn，則n維向量組線性無關(guān)的充分必要條件是它構(gòu)成的矩陣A=的秩等于向量的個數(shù)r。若向量組所構(gòu)成的矩陣的秩等于向量組向量的個數(shù)，那么，向量組線性相關(guān)。例1 已知，試討論向量組b1,b2,b3和向量組b1，b2的線性相關(guān)性。例2 k取何值時，向量組，線性無關(guān)。定義：向量組的一個部分向量組叫做一個極大線性無關(guān)部組（簡稱極大無關(guān)組），如果 （1）線性無關(guān)； （2）每一，j=1，…n，都可以由線性表示。例3 求向量組，的極大線性無關(guān)組，并將其余向量用極大線性無關(guān)組表示。對A作初等變換，
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