矩陣的對角化及其應(yīng)用畢業(yè)論文-在線瀏覽
2025-03-01 07:20本頁面
【正文】 求行列式的值、求一些具有線性遞推關(guān)系 組 的數(shù)列的通項和極限和二次曲面上的一些應(yīng)用 ． 下面列舉本文需要的基本概念 ． 定義 如下形式的 n n矩陣 A= ???????????????????????????????????naaa00000021稱為對角矩陣，簡記為A=diag ? ?naaa , 21 ??? ． 定 義 設(shè) A、 B為數(shù)域 P上的兩個 n級矩陣，如果存在數(shù)域 P 上的 n級可逆矩陣 T,使得 B= 1?T AT，則稱 A相似于 B，記為 A～ B． 定義 如果在數(shù)域 P上，對 n級矩陣 A存在一個可逆矩陣 T， 使得 1?T AT 2 為 對角矩陣，則稱矩陣 A 在數(shù)域 P 上可對角化；當 A 可對角化時，我們說將 A對角化，即指求可逆矩陣 T使得 1?T AT為對角矩陣 ． 2. 矩陣可對角化的條件 對于矩陣 A= ???????? 11 11，我們可以找到一個可逆矩陣 T= ???????? ?11 11，使得1?T AT= ???????? 00 02，而 ???????? 00 02又是一個對角矩陣 ． 根據(jù)定義 ， 矩陣 A= ???????? 11 11可對角化 ． 但對于矩陣 B= ????????? 11 11而言，若存在可逆矩陣 T= ???????? dc ba，使得 1?T BT為 對 角 矩 陣 ， 即 1????????? dc ba ????????? 11 11 ???????? dc ba= ???????? 2100ee ，得到? ? ? ?? ? ? ???????????????????????????bcadcadcabbcadcabcaddbbcadbdcdba2222= ???????? 2100ee ． 則有 022 ??db ， 022 ??ca即 dcba , 要全為 0． 但這與矩陣 T 可逆 矛盾 ． 因此對于矩陣 B= ????????? 11 11不存在可逆矩陣 T，使得 1?T AT 為對角矩陣 ． 我們知 矩陣 B= ????????? 11 11不可對角化 ． 由此我們知道不是任何矩陣都可以對角化，矩陣的對角化是有條件的 ． 現(xiàn)給出矩陣可對角化的若干條件如下圖所示： 設(shè) A= ? ?nnija ?，則 矩陣 A 有 n 個互異的特征值 矩陣 A 有 n 個線性無關(guān)的特征向量 矩陣 A 為實對稱矩陣 矩陣 A 的所有 ir 重特征值對應(yīng) ir 個線性無關(guān)的特征向量 矩 陣 A 正交相似于實對角矩陣 矩陣 A 可對角化 3 3. 矩陣對角化的三種方法 矩陣對角化最常見的方法是考察矩陣的特征值和特征向量的方法． 由于這種方法一般教材都有詳 細介紹，這里用圖示加以總結(jié) ． 解特征方程 0??AE? 得特征值 ???, 21 ?? 矩陣 A 不可對角化 取矩陣 ? ???????? 2111 iiT ??? 則有? ????????? iid ia gATT ??? 11 1?T AT=diag ? ??????? i??? , 21 ? ??? i??? 21 矩陣 A 可對角化 求每個特征值 i? 對應(yīng)的特征向量 ???, 21 ii ?? 矩陣 A 的所有 ir 重特征值 是否對應(yīng)ir 個線性無關(guān) 的 的特征向量 矩陣 A是否有重特征值 是 否 是 否 4 矩陣對角化的第二種方法是利用 ?? 矩陣的初等變換，其理論基礎(chǔ)是下述定理 ． 定理 [4] 如果 {? ?39。AE?? ， E}經(jīng)過初等變換化為 {D(? ),P(? )},其中? ?39。1,0,1 和 ? ?39。3,2,1? 5 取 T=????????????301210121 ，則1?T AT=???????????400020002 ． 說明 ：這種方法相對來說比較簡單和基礎(chǔ)，也是常用方法 ． 解法二 ： {? ?39。2,1,0 和 ? ?39。3,2,1? 是 A 屬于 4 的特征向量 ． 于是 取 T=?????????????332221110 ，則1?T AT=?????
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