高等代數(shù)--第四章矩陣的對(duì)角化-在線瀏覽
2024-12-03 06:33本頁面
【正文】 nnnnnxxaxaxaxxaxaxaxxaxaxa????????????????????這說明特征向量 滿足齊次方程組 ?即 由于 ，所以 不全為零，即齊次方程組有非零解。第四章 矩陣的對(duì)角化 ? 相似矩陣 ? 特征值與特征向量 ? 矩陣可對(duì)角化的條件 ? 實(shí)對(duì)稱矩陣 ? 若爾當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形介紹 167。 1 相似矩陣 ? 相似矩陣的定義 ? 相似矩陣的性質(zhì) 相似矩陣的定義 ? 定義 1: 設(shè) A， B 是兩個(gè) n 階方陣， 如果存在一個(gè) n 階可逆矩陣 P， 使得 則稱矩陣 A 相似于矩陣 B. 1B P A P??相似矩陣的性質(zhì) ? 反身性 : 矩陣 A與自己相似 ? 對(duì)稱性 : A相似于 B, 則 B也相似于 A ? 傳遞性 : A相似于 B, B相似于 C, 則 A相 似于 C ? 若 A相似于 B, 則它們的行列式相等 ? 如果 A可逆 , 且 A相似于 B, 則 B可逆 , 它們的逆 也相似 . 11,AB??167。我們知道，齊次線性方 0 1 1 1 1 2 2 12 1 1 0 2 2 2 21 1 2 2 0( ) 0 ,( ) 0 ,30,nnnnn n n n na x a x a xa x a x a xa x a x a x???? ? ? ? ???? ? ? ? ? ????? ? ? ? ? ? ??（ ）（ ）0?? nxxx 00201 , ?程組 (3)有非零解的充分必要條件是它的系數(shù)行列式為零，即 0 1 1 1 2 12 1 0 2 2 201 2 00nnn n n na a aa a aEAa a a????? ? ?? ? ?? ? ?? ? ? )4(212222111211nnnnnnaaaaaaaaaAE??????????????????????稱為 A的 特征多項(xiàng)式 . 矩陣的特征多項(xiàng)式 A的特征多項(xiàng)式 2求出 A的全部特征值； (3)，對(duì)于每一個(gè)特征值，解方程組 (3)，求出一組基礎(chǔ)解系，它們就是屬于這個(gè)特征值的幾個(gè)線性無關(guān) AE ?? 的特征向量。 例 2 求 A 的特征值與特征向量 . 3 1 04 1 04 8 2A????? ? ???????23 1 04 1 04 8 231( 2) ( 2) ( 1 )41EA?????? ? ????? ? ?????? ? ? ? ??解 矩陣 A 的特征值是 1, 2 把特征值 1 代入 , 得到齊次方程組 12121 2 32 0 ,4 2 0 ,4 8 3 0 ,xxxxx x x? ? ???????? ? ? ??它的基礎(chǔ)解系是 13620?????????????屬于 1 的全部特征向量就是 ， 11k?1 0k ?把特征值 2 代入 , 得到齊次方程組 1212125 0 ,4 0 ,4 8 0 ,xxxxxx? ? ???????? ? ??它的基礎(chǔ)解系是 2001????????????屬于 2 的全部特征向量就是 ， 22k ?2 0k ? 例 3 求 A 的特征值與特征向量 . ,122212221???????????A 因?yàn)樘卣鞫囗?xiàng)式為 所以特征值是 1( 二重 )和 5. ????????????122212221???? AE ).5()1( 2 ?? ??把特征值 1代入齊次方程組 ???????????????????,0)1(22,02)1(2,022)1(321321321xxxxxxxxx???得到 它的基礎(chǔ)解系是 ?????????????????,0222,0222,0222321321321xxxxxxxxx12100 , 1 .11??? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ???? ? ? ?屬于 1 的全部特征向量就是 是不全等于零的數(shù) 1 1 2 2kk???12,kk再用特征值 5代入，得到 它的基礎(chǔ)解系是 ????????????????,0422,0242,0224321321321xxxxxxxxx311.1????????????屬于 5的全部特征向量就是 ， k是任意不等于零的數(shù) . 3?k矩陣的特征多項(xiàng)式的系數(shù) nnnnnnaaaaaaaaaAE??????????????????????212222111211 的展開式中 , 有一項(xiàng)是主對(duì)角線上元素的連乘積 ).())(( 2211 nnaaa ??? ??? ?在 特征多項(xiàng)式中含 的 n次與 n1次的項(xiàng) 只能在主對(duì)角線上元素的連乘積中出現(xiàn)， 它們是 ?.)( 12211 ????? nnnn aaa ?? ?在特征多項(xiàng)式中令 ,即得常數(shù)項(xiàng) 0??.||)1(|| AA n??? 因此，如果只寫出特征多項(xiàng)式的前兩項(xiàng)與常數(shù)項(xiàng)，就有 由根與系數(shù)的關(guān)系可知， A的全體特征值的和為 (稱為 A的跡 ). 而 A的全體特征值的積為 |A|. )5(.||)1()(|| 12211AaaaAEnnnnn????????? ??? ???nnaaa ??? ?2211 167。 根據(jù)歸納法原理，定理得證。 4 實(shí)對(duì)稱矩陣 ? 實(shí) n 維向量空間的內(nèi)積 ? 施密特正交化方法 ? 正交矩陣 ? 實(shí)對(duì)稱矩陣的對(duì)角化 實(shí) n 維向量空間 ? R 表示實(shí)數(shù)集 , 表示實(shí)數(shù)集上的所有 n 維向量，對(duì)于向量 的加法、數(shù)乘構(gòu)成 n 維向量空間 ? ?? ?1 2 1 2, , , , , ,n nnR a a a a a a R?? ? ? 中向量的內(nèi)積 ? 任取 , 實(shí)數(shù) (1) 稱為 與 的內(nèi)積 , 記作 . nR),(,),( 2121 nn bbbaaa ?? ?? ??1 1 2 2 nna b a b a b? ? ?? ?),( ??它具有以下性質(zhì) : ),(),( ???? ?),(),( ???? kk ?),(),(),( ??????? ???0),( ???0?? 0),( ???(1) (2) (3) (4) 當(dāng)且僅當(dāng) 時(shí) , 在 n=3時(shí)
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