微分中值定理推廣及其應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2024-07-21 22:55 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，則原方程也有根。變形之后的方程有存在，所以可以利用不定積分把方程，轉(zhuǎn)變?yōu)椤，F(xiàn)在我們返回來看題目，由題目中我們可以知道在區(qū)間上連續(xù)，在區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，由函數(shù)的連續(xù)性和求導(dǎo)的概念，可以得到函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，那么我們不難想到利用羅爾中值定理就可以證明該題了。證明:令，顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo)，而.根據(jù)Rolled定理, 至少存在一點，使. 證畢本文主要在于輔助函數(shù)的構(gòu)造，我們從結(jié)論出發(fā)，構(gòu)造輔助函數(shù)，使得該題可以利用中值定理來證明，接下來是考慮利用微分中值定理中的哪一個即可。對于構(gòu)造輔助函數(shù)我們可以得到，所以選在利用羅爾定理證明。這是對解該類問題的總結(jié)，也是自己對該類問題解題提出的一個解題思路模式，大家可以借鑒。在證明不等式時,可以考慮從微分中值定理入手,找出切入點,靈活運用相關(guān)微分中值定理,進行系統(tǒng)的分析,從而得以巧妙解決.例 設(shè),證明.證明 顯然等式當且僅當時成立.下證 當時,有 ①作輔助函數(shù),則在上滿足拉格朗日中值定理,則使 ②由于,所以 ③由②③有,即.小結(jié) 一般證明方法有兩種①利用泰勒定理把函數(shù)在特殊點展開,結(jié)論即可得證.②利用拉格朗日中值定理證明不等式,其步驟為：第一步 根據(jù)待證不等式構(gòu)造一個合適的函數(shù),使不等式的一邊是這個函數(shù)在區(qū)間上的增量；第二步 驗證在上滿足拉格朗日中值定理的條件,并運用定理,使得等式的另一邊轉(zhuǎn)化為；第三步 把適當放大或縮小. 利用微分中值定理求極限及證明相關(guān)問題例 若在內(nèi)可導(dǎo),且,求.分析 由式,引進輔助函數(shù),顯然.解 由,知,當時,令,對,在上利用柯西中值定理有,即,亦有,或由于,所以當時有和,于是,使即.小結(jié)方法1 選擇適當?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用拉格朗日中值定理并結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的特點及極限的迫斂性求的最終結(jié)果.方法2 選擇適當?shù)暮瘮?shù)和區(qū)間利用柯西中值定理結(jié)合具體題意求的最終結(jié)果.對于有些求極限的題， 如果使用洛必達法則,使用微分中值定理,然后求出極.例 求,其中.解：對應(yīng)用拉格朗日中值定理,有=== 其中導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)性態(tài)的重要工具, 但用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性態(tài)的著眼點在局部范圍. 而在整體上或比較大的范圍運用導(dǎo)數(shù)這一工具來研究函數(shù)性態(tài), 主要工具還是微分中值定理,它是應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究整體性問題的重要工具. 證明
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