高階微分方程的解法及應(yīng)用畢業(yè)論文(編輯修改稿)
2025-07-15 15:28 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 ，把他代入到方程中，得因為，因此 （22）反之，如果滿足等式（22），則是方程(21)的解。式子（22）是關(guān)于的n次代數(shù)方程，則把他叫做微分方程（21）的特征方程，它的根就稱做特征根。下面根據(jù)特征根的不同情形分別進行討論方程解的情況。 特征根是單根的情況定義 我們把稱為方程的特征方程，它的根叫做特征根。在這里把叫做待定系數(shù)。定理 如果特征方程有個互異的根，則是方程的一個基本解組。特征方程可能有復(fù)根，由于他的系數(shù)是實的，他的復(fù)根一定是共軛成對的出現(xiàn)。即此時在相異特征根中有復(fù)數(shù)。例如，則也是的根。這兩個特征根所對應(yīng)的解是實變量復(fù)值函數(shù)例1 求方程的通解。解 特征方程的根是，其中有兩個實根和兩個復(fù)根，但他們都是單根，所以所求方程的通解是在這里是任意的常數(shù)。 特征根是重根的情況定理 假設(shè)方程有互異的特征根，他們的重數(shù)分別是，并且，則與他們相對應(yīng)的的特解是，并且該特解構(gòu)成在區(qū)間上的基本解組。例2 解初值問題解 特征方程是，特征根是所以方程的通解是又因為 根據(jù)初始條件，得再解方程組，得于是初值問題的解是 高階常系數(shù)線性非齊次方程對于n階常系數(shù)線性非齊次方程 （23）他的通解等于齊次方程的通解再加上加其對應(yīng)的非齊次方程的一個特解。在上一節(jié)中我們知道了怎樣求解齊次方程的通解，下面我們主要來研究求解非齊次方程的特解的方法。 常數(shù)變易法常數(shù)變易法 實際上是一種變量變換的方法,在這里我們 簡單的介紹一下 在n階方程中的應(yīng)用?？梢栽O(shè)方程（23）的特 解是： (24)其中是待定的 常函數(shù)。并且把它代入到方程(23)中,再附加上n1個條件,就可以得到 方程組 （25）解方程 組(25)就會得到關(guān)于的表 達式,把它們分別進行 積分進而得 到,再把它 們代入到(24)式中,繼而求得方程（23）的一個特解。由于這種方法 對于自由項的形式?jīng)]有任何的限制,因此使用的范圍會比較廣,但是求解的工作量相對來說會大一些。例3 求解 方程的通解,已知 它所對應(yīng)的齊次線性微 分方程的基本解組是。解 運用常數(shù)變易法,設(shè)并且把它代入到方程里,就可以得到關(guān)于和的兩個方程和 解得 ,據(jù)此得到所以原方程的通解是 其中是 任意的常數(shù)。 比較系數(shù)法對于常系數(shù)非線性方程（23）,我們通常采用的方法是比較系數(shù)法,它是把所要求解的微分方程的問題轉(zhuǎn)化成代數(shù)問題,在自由項是(其中分別是次,次,次的多項式。都是實常數(shù))時,就可以確定特解的形式,即分別令是一個待定的次的多項式,是方程的特征方程有根時的次數(shù))或者(其中是兩個待定的次多項式,是方程含有根的次數(shù))然后把它代入到方程（23）中,再進行比較等式的左右兩邊同次冪的系數(shù)來確定待定系數(shù)多項式。再根據(jù)線性微分方程解的結(jié)構(gòu)便可以求解出方程的通解。例4 求方程的通解。解 特征方程有三重根,所對應(yīng)的齊次方程的通解是 并且方程有的特解,將它代入到方程中得 再比較兩邊的系數(shù)求得 進而所以所求的方程的通解是其中是任意的常數(shù)。 拉普拉斯變換法根據(jù)積分所定義的確定在復(fù)平面（）上的復(fù)變數(shù)的函數(shù)，叫做函數(shù)的拉普拉斯變換，其中在上有定義，并且滿足不等式在這里是某兩個正常數(shù)。我們把稱為原函數(shù)，而把稱為象函數(shù)。設(shè)所給定的微分方程 （26）和初始條件其中是常數(shù)，而是連續(xù)的并且滿足原函數(shù)的條件?？梢宰C明，假如是方程（21）的任意解，則以及它的各階的導(dǎo)數(shù)都是原函數(shù)。記那么，根據(jù)原函數(shù)的微分性質(zhì)就有于是，再對方程（26）的兩邊進行拉普拉斯變換，并且運用線性性質(zhì)就可以得到即或者其中和都是已知的多項式，由此得到這就是方程（26）所滿足所給初始條件的解的象函數(shù)。而可以直接查表或者根據(jù)反變換公式計算求解出來。例5 求方程的滿足初始條件的解。解 對方程的左右兩邊進行拉普拉斯變換得到由此得到再把上面式子的右面分解成為部分分式對上面式子的右端的各項分別求出或者查表得出他們的原函數(shù)，則他們的和就
環(huán)評公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號-1