高階微分方程的解法及應(yīng)用畢業(yè)論文-文庫(kù)吧
2025-06-03 15:28 本頁(yè)面
【正文】 rential equations in mainly uses the parison coefficient method, Laplace transform method and the constant variation. And secondly describes several types of differential equations can be reduced for the solution, the main tangible eg, appropriate derivative equations and Euler equations reduction method, and studied several types of more plex higher order differential equations reduction problem. Finally some real life examples of specific applications of these methods have been described.Key words: Higher Order Ordinary Differential Equations。 constant variation。 eigenvalue method。 reduction method
前 言常微分方程作為數(shù)學(xué)系重要專(zhuān)業(yè)的一門(mén)基礎(chǔ)課程，對(duì)學(xué)習(xí)好其他的科目起到了至關(guān)重要的作用。它的形成與發(fā)展是和力學(xué)、天文學(xué)、物理學(xué)，以及其他科學(xué)技術(shù)的發(fā)展密切相關(guān)的。數(shù)學(xué)的其他分支的新發(fā)展，如復(fù)變函數(shù)、拓?fù)鋵W(xué)等，都對(duì)常微分方程的發(fā)展產(chǎn)生了深刻的影響，當(dāng)前計(jì)算機(jī)的發(fā)展更是為常微分方程的應(yīng)用及理論研究提供了非常有力的工具。而高階微分方程是常微分方程中的一個(gè)重要的組成部分，在現(xiàn)實(shí)的生活中也有著廣泛的應(yīng)用，比如工程問(wèn)題。常系數(shù)線(xiàn)性微分方程的解法，高階微分方程的降階問(wèn)題又是高階微分方程的重中之重。常微分方程是在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)技術(shù)中產(chǎn)生的。目前，常微分方程在很多學(xué)科領(lǐng)域內(nèi)有著重要的應(yīng)用，自動(dòng)控制、各種電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性的研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程穩(wěn)定性的研究等。這些問(wèn)題都可以化為求常微分方程的解，或者化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。人們對(duì)于二階以及簡(jiǎn)單的高階微分方程求解的方法有了很多理論成果，而高階常微分方程并沒(méi)有固定的解法，例如，高階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程，我們可以運(yùn)用特征根的方法進(jìn)行求解，高階常系數(shù)線(xiàn)性非齊次微分方程，我們可以運(yùn)用常數(shù)變易法，比較系數(shù)法，拉普拉斯變換法進(jìn)行求解。而對(duì)于可以降階的高階微分方程，我們通常采用降階法，也就是通過(guò)一定的變換把高階微分方程求解的問(wèn)題轉(zhuǎn)化成低階微分方程的求解問(wèn)題。本篇論文我總結(jié)了形如，，恰當(dāng)導(dǎo)數(shù)方程和Euler方程的降階方法，并且研究了幾類(lèi)較為復(fù)雜的高階微分方程的降階問(wèn)題，進(jìn)而介紹此類(lèi)問(wèn)題在科學(xué)技術(shù)中的應(yīng)用。第一章 高階微分方程的理論與結(jié)構(gòu)定義1（方程的階） 在一個(gè)常微分方程里，未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)叫做方程的階。n階隱式方程的一般形式為n階顯式方程的一般形式為定義2（解） 設(shè)函數(shù)在區(qū)間上有直到階的導(dǎo)數(shù)。如果把代入到方程得到在區(qū)間上關(guān)于的恒等式是則稱(chēng)是方程在區(qū)間上的一個(gè)解。微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常數(shù)的個(gè)數(shù)可以多到和方程的階數(shù)相等，當(dāng)然也可以不包括任意常數(shù)。我們把方程的含有個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù)的解稱(chēng)做該方程的通解。如果方程的解不包含任意常數(shù)，則把它叫做特解。方程 （11）稱(chēng)做n階線(xiàn)性微分方程，它關(guān)于未知函數(shù)以及各階導(dǎo)數(shù)都是線(xiàn)性的。在這里，我們通常假設(shè)和是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。如果都是常數(shù)，則把方程（11）叫做n階常系數(shù)線(xiàn)性方程。如果方程的右端項(xiàng)，即則稱(chēng)方程（11）是齊次的，否則為非齊次的。所以對(duì)于方程（11）的齊次方程是 （12）定理1（疊加原理） 設(shè)和是齊次方程（12）的解，則對(duì)于任意常數(shù)和，也是方程（12）的解。定理2 設(shè)是方程的解，則也是方程的解。定理3 設(shè)是齊次方程（12）的n個(gè)線(xiàn)性無(wú)關(guān)的特解，則是方程（12）的通解，其中是任意常數(shù)。定理4 設(shè)是非齊次線(xiàn)性方程（11）的任意一個(gè)確定的解，是（11）對(duì)應(yīng)的齊次線(xiàn)性方程（12）的通解。則 是（11）的通解。 第二章 高階常系數(shù)線(xiàn)性微分方程 高階常系數(shù)線(xiàn)性齊次微分方程對(duì)于n階常系數(shù)線(xiàn)性齊次方程 （21）其中是關(guān)于的未知函數(shù)，系數(shù)是實(shí)常數(shù)。如果是方程的根
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