【正文】 23 非齊次線性微分方程組的解的相關定理 .......................... 25 ....... 30 高階線性微分方程與線性微分方程組 之間的對應關系 ........................... 30 實例分析 ....................................................................................................... 34 MATLAB 中高階微分方程到微分方程組的轉化及求解 .............................. 37 解微分方程的 MATLAB 命令 ................................................................ 38 MATLAB 求解實例 ................................................................................. 38 給出一個現(xiàn)實問題通過 MATLAB 求解 ......................................................... 41 II 總結 ....................................................................................................... 45 參考文獻 ............................................................................................... 46 致謝 ....................................................................................................... 47 畢業(yè)設計（論文）知識產(chǎn)權聲明 ........................................................ 48 畢業(yè)設計 （ 論文） 獨創(chuàng)性聲明 ............................................................ 49 附錄 A 外文翻譯原文 ........................................................................... 50 附錄 B 外文翻譯譯文 ........................................................................... 57 1 緒論 1 常微分方程的背景和發(fā)展現(xiàn)狀 數(shù)學分析（微積分）中研究了變量的各種函數(shù)及函數(shù)的微分與積分。如函數(shù)未知，但知道變量與函數(shù)的代數(shù)關系式，便組成代數(shù)方程，通過求解代數(shù)方程解出未知函數(shù)。同樣，如果知道自變量、未知函數(shù)及函數(shù)的導數(shù)（或微分）組成的關系式，得到的便是微分方程，通過求解微分方程求出未知函數(shù)。自變量只有一個的微分方程稱為常微分方程。 常微分方程是數(shù)學分析或基礎數(shù) 學的一個組成部分，在整個數(shù)學大廈中占據(jù)非常重要的位置。在反映客觀現(xiàn)實世界運動過程的量與量之間的關系中，大量存在滿足 常 微 分 方程關系式的數(shù)學模型，需要我們通過求解常微分方程來了解 未知函數(shù)的性質。常微分方程是解決實際問題的重要工具。 常微分方程和微積分的概念幾乎是同時出現(xiàn)的，而對于常微分的研究可以分為幾個階段來闡述 . 常微分方程在發(fā)展初期是為了能夠解決初等函數(shù)或者超越函數(shù)表示其解，該階段稱為“求通解”時代 .在該階段，萊布尼茨曾經(jīng)專門研究了利用變量變換解決一階微分方程的求解的相關問題，同時如伯努利，里卡帝微分方程就 是在研究初等的積分時提出的而在后來我們便以他們的名字命名相關方程 . 早期的常微分方程求解熱潮被 Liouville 于 1841 年證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷。加上柯西初值問題的提出，常微分方程從“求通解”轉向“求定解”時代。同時由于天文計算的需求，促進了常微分方程攝動理論以及小參數(shù)、冪級數(shù)等近似方法的研究。 19 世紀末，天體力學中的太陽系穩(wěn)定性問題需要研究常微分方程解的大范圍性態(tài)，從而使常微分方程的研究從“求定解問題”轉向“求所有解”的新時代。 20 世紀六七十年代以后，常微分方程由于計算機技術的發(fā)展迎來了 新的時期，發(fā)現(xiàn)了具有新性質的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇異吸引子及孤立子等?？萍己蛿?shù)學界的重大發(fā)現(xiàn)是混沌、孤立子和分形，其中混沌、孤立子直接與微分方程有關。常微分方程的研究還與其他學科或領域的結合而出現(xiàn)各種新的研究分支，如控制論、種群生態(tài)學、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程、廣義微分方程、時標微分方程等等。 常微分方程的理論在逐步完善的時候，利用它可以精確地表述事物變化的基本規(guī)律，只要列出相應的微分方程，有了解方程的方法，常微分方程也就成為了最有生命力的數(shù)學分支之一。常微分方程是研究自然科學和社會科 學的事物、物體和現(xiàn)象運動、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學理論和方法。因此，常微分方程的理論和方法不僅廣泛應用于自然科學，而且越來越多的應用于社會科學的各個領域。自動控制、各電子學裝置的設計、彈道的計算、飛機和導彈飛行的穩(wěn)定性研究、化學反應過程的穩(wěn)定性研究等等，這些問題都可以轉化成求常微分方程西安工業(yè)大學畢業(yè)設計（論文） 2 的解，或化為研究解的性質的問題。雖然常微分方程的理論發(fā)展已經(jīng)歷幾百年，但目前仍在發(fā)展中。特別是近三十多年，在自然科學中，混沌現(xiàn)象和孤立子的重大發(fā)現(xiàn)，便是以常微分方程為基礎出現(xiàn)的，對常微分方程的研究目前仍然方興未艾。 本文主要解決的問題及所用方法 （ 1）高階線性微分方程解得結構及初等解法的綜述； （ 2）一階線性微分組方程解結構解得的性質； （ 3）討論高階線性微分方程與線性微分方程組之間關系； （ 4）給出幾個算例； （ 5）使用 MATLAB 求解相關問題。 課題成果及意義 現(xiàn)在，常微分方程在很多科學發(fā)展領域內有著重要的作用，例如：自動控制、彈道的相關性計算、飛機和導彈飛行的相關穩(wěn)定性的研究 、考古研究、種群分析、種群生態(tài)學、分支理論、脈沖微分方程等。而這些問題都是可以轉化成為求解常微分方程的解，或者化為研究解的性質的相關問題。于此同時，在反映客觀現(xiàn)實世界運動過程的量與量之間的關系中，大量存在滿足常微分方程關系式的數(shù)學模型，需要我們通過求解常微分方程來了解未知函數(shù)的性質。應該說，應用常微分方程理論已經(jīng)取得了很大的成就，但是，它現(xiàn)有的理論也遠遠不能滿足我們的需求，還有待于進一步的發(fā)展，從而使這門學科的理論更加完善。 所以求解常微分方程，研究常微分方程的解以及常微分方程解的相關性質，對研究現(xiàn)實問題有 很大的作用。 MATLAB 起源于矩陣的運算，并且已經(jīng)發(fā)展成為一種高度集成的計算機語言。MATLAB 提供了強大的科學運算、靈活的程序設計流程、高質量的圖形可視化與界面設計。 MATLAB 語言的功能也越來越強大，不斷的適應新的要求提出新的解決方法。在科學運算、微分方程與科學繪圖等領域 MATLAB 語言具有其他語言無法替代的重要地位。 MATLAB 軟件是由美國的 Clever Moler 博士研究而來的，它以矩陣運算為基礎，把計算、可視化、程序設計融合到了一個簡單易用的交互式工作環(huán)境中，可實現(xiàn)工程計算、算法研究、符號運算 、建模和仿真、原型開發(fā)、數(shù)據(jù)分析及可視化、科學和工程繪圖、應用程序設計等功能。 MATLAB 強大的運算功能和圖形使其為目前世界上應用最為廣泛的科學計算軟件之一。 MATLAB 符號工具箱提供了一個線性常系數(shù)微分方程的函數(shù) dsolve，這個函數(shù)允許用字符串的形式描述微分方程及初值、邊值條件，最終得出微分方程的解析解。函數(shù) dsolve 輸入?yún)⒆兞坑扇糠纸M成，基于 MATLAB 的常微分方程的解析解法還有待進一步發(fā)展和壯大。 2 高階微分方程的理論與結構 3 定義 1 （常微分方程） 在數(shù)學中將聯(lián)系著自變量、未知函 數(shù)及其導數(shù)的關系式稱為微分方程；在微分方程中，將自變量的只有一個的方程，稱為常微分方程。 定義 2 （方程的階） 在一個常微分方程中，將未知函數(shù)最高階導數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。而一般的 n 階常微分方程可以表示成如下形式 dd( , , , , ) 0nnyyF x y xx ?， （ ） 在這里 dd( , , , , )n nyyF x y xx 是 dd, , , , nnyyxy xx的已知函數(shù)，而且一定含有 ddnnyx； y 是未知函數(shù)， x 是自變量。 定義 3 （方程的解） 如果將一個函數(shù) ()yx?? 帶入方程（ ）后，能夠使它變換為恒等式，那么稱函數(shù) ()yx?? 是方程（ ）的解。 微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常 數(shù)的常數(shù)能夠多到和方程的階數(shù)相等，當然這里也可以不包括任意常數(shù)。 把含有 n 個獨立的任意常數(shù) 12,nc c c 的解 12( , , , )ny x c c c?? 稱為 n 階方程（ ）的通解。 把不包含任意常數(shù)的方程的解 ()yx?? ，稱為方程（ ）的特解。 定義 4 （方程的齊次和非齊次） n 階線性微分方程形式如下 1111d d d( ) ( ) ( ) ( )d d dnnnnx x xa t a t a t x f tt t t???? ? ? ? （ ） 其中 ( )( 1, 2, , )ia t i n? 及 ()ft 都是區(qū)間 a t b?? 上的連續(xù)性函數(shù)。如果( ) 0ft? ，那么方程（ ）變?yōu)? 1111d d d( ) ( ) ( ) 0d d dnnnnx x xa t a t a t xt t t???? ? ? ? （ ） 稱為 n 階齊次線性微分方程，簡稱為齊次線性微分方程，而另一方面，稱一般的方程（ ）為 n 階的非齊次線性微分方程，簡稱為非齊次線性微分方程，并且通常把方程（ ）叫做對應方程的齊次線性微分方程。 畢業(yè)設計（論文） 4 定理 1 （疊加原理） 若 12( ), ( ), ( )kx t x t x t是方程（ ）的 k 個解，則它們的線性組合 1 1 2 2( ) ( ) ( )kkc x t c x t c x t? ? ? 也是（ ）的解，這里 12,nc c c 是任意常數(shù) . 特別地，當 kn? 的時候，方程（ ）有解如下 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx c x t c x t c x t? ? ? ? 該解含有 n 個任意常數(shù) . 定理 2 （線性相關性） 設 12( ), ( ), ( )kx t x t x t是定義在區(qū)間 a t b?? 上的函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù) 12,kc c c ，從而使得恒等式 1 1 2 2( ) ( ) + ( ) 0kkc x t c x t c x t? ? ? 相對于所有的 [ , ]t ab? 都是成立的，則將這些函數(shù)稱為線性相關的，否則就稱這些函數(shù)在所給的定義區(qū)間上是線性無關的 . 定理 3 （朗斯基行列式） 定義在區(qū)間 a t b?? 上的 k 個可微的 1k? 次的函數(shù) 12( ), ( ), ( )kx t x t x t所作成的行列式 121212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12[ ( ), ( ), , ( )]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( ) ( )kkkk k kkW x t x t x tx t x t x tx t x t x tWtx t x t x t? ? ?? ? ??? 稱為這些函數(shù)的朗斯基行列式 . 如果函數(shù) 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t在區(qū)間 a t b?? 上是線性相關的，那么在區(qū)間a t b?? 上它們的朗斯基行列式為 ( ) 0Wt? . 定理 4 如果方程（ ）的解 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t在區(qū)間 a t b?? 上是線性無關的，那么 12[ ( ), ( ), , ( )]nW x t x t x t在這個區(qū)間的任何點上都不等于零，即 ( ) 0Wt? . 定理 5 n 階齊次線性微分方程（ ）一定存在 n 個線性無關的解。 定理 6 （通解的結構定理） 如果 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t是方程（ ）的 n 個線性無關的解， 那么方程（ ）的通解可以表示為 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx c x t c x t c x t? ? ? ? （ ） 其中 12,nc c c 是任意常數(shù)