【正文】 外文資料；翻譯一篇相關(guān)外文資料。 （含起始時(shí)間、設(shè)計(jì)地點(diǎn)）： 第 1周 — 第 2周： 查閱資料，了解常微分方程有關(guān)主理論與計(jì)算方法； 第 3周 — 第 4周： 查閱資料，掌握高 階微分方程與一階微分組的邏輯關(guān)系； 第 5周 — 第 13周： 著手寫論文，師生討論相關(guān)問(wèn)題，第一稿完成； 第 14周 — 第 16周：修改論文； 第 17周 — 第 18周：定稿，準(zhǔn)備答辯； 以上所有工作均在學(xué)校完成。學(xué)生學(xué)習(xí)了專業(yè)課《常微分方程》，對(duì)于微分方程有了一個(gè)初步了解，為了是學(xué)生學(xué)以致用，本題目結(jié)合微分方程知識(shí)，進(jìn)一步要求學(xué)生，能夠?qū)ξ⒎址匠讨兄R(shí)點(diǎn)邏輯結(jié)構(gòu)搞清楚，具有一定的 理論推導(dǎo)和應(yīng)用價(jià)值。 本科 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 題目： 高階線性微分方程與線性微分方程組之間關(guān)系的研究 院（系） 專 業(yè) 班 級(jí) 姓 名 學(xué) 號(hào) 導(dǎo) 師 xxxx 年 x 月 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）任務(wù)書(shū) 院（系） 專業(yè) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué) 班級(jí) 姓名 學(xué)號(hào) （ 論文）題目： 高階線性微分方程與線性微分方程組之間關(guān)系的研究 ： 常微分方程是數(shù)學(xué)分析或基礎(chǔ)數(shù)學(xué)的一個(gè)組成部分，在整個(gè)數(shù)學(xué)大廈中占據(jù)著非常重要的位置，在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過(guò)求解常微分方程來(lái)了解位置函數(shù)的性質(zhì)。常微分方程是解決問(wèn)題的重要工具。 (論文 )的主要內(nèi)容（理工科含技術(shù)指標(biāo)）： （ 1）高階線性微分方程解得結(jié)構(gòu)及初等解法的綜述； （ 2）一階線性微分組方程解結(jié)構(gòu)解得的性質(zhì)； （ 3）討論高階線性微分 方程與線性微分方程組之間關(guān)系； （ 4）給出幾個(gè)算例。 （論文）的工作量要求 完成附有中英文摘要的畢業(yè)論文一篇。 指導(dǎo)教師簽名： 年 月 日 學(xué)生簽名： 年 月 日 系（教研室）主任審批： 年 月 日 說(shuō)明： 1本表一式二份，一份由學(xué)生裝訂入附件冊(cè)，一份教師自留。 I 高階線性微分方程與線性微分方程組之間關(guān)系的研究 摘要 本文主要總結(jié)歸納了高階 線性 微分方程和 線性 微分方程組的相關(guān)理論和結(jié)構(gòu)，討論了二者 相關(guān)方 程的 求解方法，進(jìn)而深入研究和分析了二者之間的相互 轉(zhuǎn)化 關(guān)系 . 在緒論中，主要對(duì)常微分方程的研究背景、現(xiàn)有的發(fā)展情況以及研究意義做了深入的了解，確定了本文主要研究的主要內(nèi)容。 第三章， 結(jié)合 第二章中相關(guān)理論，對(duì)線性微分方程組的結(jié)構(gòu)和解的形式進(jìn)行了深入的研究，并利用消元法、首次積分法以及常數(shù)變易法對(duì)相關(guān)例題進(jìn)行了分析 與求解 . 第四章，通過(guò)對(duì)相關(guān)例題和實(shí)際問(wèn)題的 求解與分析，探討了高階線性微分方程和線性微分方程的相互 轉(zhuǎn)化 關(guān)系 .線性 微分方程組可以通過(guò)消元法轉(zhuǎn)化為高階線性 微分方程進(jìn)行求解，同樣的高階 線性 微分方程也可以通過(guò)函數(shù)替換的形式和常數(shù)變易公式轉(zhuǎn)化為 線性 微分方程組，進(jìn)而求解相關(guān)問(wèn)題 . 最后通過(guò)對(duì) MATLAB 相關(guān)函數(shù)的了解，實(shí)現(xiàn)高階 線性 微分方程到 線性 微分方程組的轉(zhuǎn)化與求解。如函數(shù)未知，但知道變量與函數(shù)的代數(shù)關(guān)系式，便組成代數(shù)方程，通過(guò)求解代數(shù)方程解出未知函數(shù)。自變量只有一個(gè)的微分方程稱為常微分方程。在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿足 常 微 分 方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過(guò)求解常微分方程來(lái)了解 未知函數(shù)的性質(zhì)。 常微分方程和微積分的概念幾乎是同時(shí)出現(xiàn)的，而對(duì)于常微分的研究可以分為幾個(gè)階段來(lái)闡述 . 常微分方程在發(fā)展初期是為了能夠解決初等函數(shù)或者超越函數(shù)表示其解，該階段稱為“求通解”時(shí)代 .在該階段，萊布尼茨曾經(jīng)專門研究了利用變量變換解決一階微分方程的求解的相關(guān)問(wèn)題，同時(shí)如伯努利，里卡帝微分方程就 是在研究初等的積分時(shí)提出的而在后來(lái)我們便以他們的名字命名相關(guān)方程 . 早期的常微分方程求解熱潮被 Liouville 于 1841 年證明里卡蒂方程不存在一般的初等解而中斷。同時(shí)由于天文計(jì)算的需求，促進(jìn)了常微分方程攝動(dòng)理論以及小參數(shù)、冪級(jí)數(shù)等近似方法的研究。 20 世紀(jì)六七十年代以后，常微分方程由于計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展迎來(lái)了 新的時(shí)期，發(fā)現(xiàn)了具有新性質(zhì)的特殊的解和方程，如混沌（解）、奇異吸引子及孤立子等。常微分方程的研究還與其他學(xué)科或領(lǐng)域的結(jié)合而出現(xiàn)各種新的研究分支，如控制論、種群生態(tài)學(xué)、分支理論、泛函微分方程、脈沖微分方程、廣義微分方程、時(shí)標(biāo)微分方程等等。常微分方程是研究自然科學(xué)和社會(huì)科 學(xué)的事物、物體和現(xiàn)象運(yùn)動(dòng)、演化和變化規(guī)律的最為基本的數(shù)學(xué)理論和方法。自動(dòng)控制、各電子學(xué)裝置的設(shè)計(jì)、彈道的計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的穩(wěn)定性研究、化學(xué)反應(yīng)過(guò)程的穩(wěn)定性研究等等，這些問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化成求常微分方程西安工業(yè)大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 2 的解，或化為研究解的性質(zhì)的問(wèn)題。特別是近三十多年，在自然科學(xué)中，混沌現(xiàn)象和孤立子的重大發(fā)現(xiàn)，便是以常微分方程為基礎(chǔ)出現(xiàn)的，對(duì)常微分方程的研究目前仍然方興未艾。 課題成果及意義 現(xiàn)在，常微分方程在很多科學(xué)發(fā)展領(lǐng)域內(nèi)有著重要的作用，例如：自動(dòng)控制、彈道的相關(guān)性計(jì)算、飛機(jī)和導(dǎo)彈飛行的相關(guān)穩(wěn)定性的研究 、考古研究、種群分析、種群生態(tài)學(xué)、分支理論、脈沖微分方程等。于此同時(shí)，在反映客觀現(xiàn)實(shí)世界運(yùn)動(dòng)過(guò)程的量與量之間的關(guān)系中，大量存在滿足常微分方程關(guān)系式的數(shù)學(xué)模型，需要我們通過(guò)求解常微分方程來(lái)了解未知函數(shù)的性質(zhì)。 所以求解常微分方程，研究常微分方程的解以及常微分方程解的相關(guān)性質(zhì)，對(duì)研究現(xiàn)實(shí)問(wèn)題有 很大的作用。MATLAB 提供了強(qiáng)大的科學(xué)運(yùn)算、靈活的程序設(shè)計(jì)流程、高質(zhì)量的圖形可視化與界面設(shè)計(jì)。在科學(xué)運(yùn)算、微分方程與科學(xué)繪圖等領(lǐng)域 MATLAB 語(yǔ)言具有其他語(yǔ)言無(wú)法替代的重要地位。 MATLAB 強(qiáng)大的運(yùn)算功能和圖形使其為目前世界上應(yīng)用最為廣泛的科學(xué)計(jì)算軟件之一。函數(shù) dsolve 輸入?yún)⒆兞坑扇糠纸M成，基于 MATLAB 的常微分方程的解析解法還有待進(jìn)一步發(fā)展和壯大。 定義 2 （方程的階） 在一個(gè)常微分方程中，將未知函數(shù)最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)稱為微分方程的階數(shù)。 定義 3 （方程的解） 如果將一個(gè)函數(shù) ()yx?? 帶入方程（ ）后，能夠使它變換為恒等式，那么稱函數(shù) ()yx?? 是方程（ ）的解。 把含有 n 個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) 12,nc c c 的解 12( , , , )ny x c c c?? 稱為 n 階方程（ ）的通解。 定義 4 （方程的齊次和非齊次） n 階線性微分方程形式如下 1111d d d( ) ( ) ( ) ( )d d dnnnnx x xa t a t a t x f tt t t???? ? ? ? （ ） 其中 ( )( 1, 2, , )ia t i n? 及 ()ft 都是區(qū)間 a t b?? 上的連續(xù)性函數(shù)。 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 4 定理 1 （疊加原理） 若 12( ), ( ), ( )kx t x t x t是方程（ ）的 k 個(gè)解，則它們的線性組合 1 1 2 2( ) ( ) ( )kkc x t c x t c x t? ? ? 也是（ ）的解，這里 12,nc c c 是任意常數(shù) . 特別地，當(dāng) kn? 的時(shí)候，方程（ ）有解如下 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx c x t c x t c x t? ? ? ? 該解含有 n 個(gè)任意常數(shù) . 定理 2 （線性相關(guān)性） 設(shè) 12( ), ( ), ( )kx t x t x t是定義在區(qū)間 a t b?? 上的函數(shù)，若存在不全為零的常數(shù) 12,kc c c ，從而使得恒等式 1 1 2 2( ) ( ) + ( ) 0kkc x t c x t c x t? ? ? 相對(duì)于所有的 [ , ]t ab? 都是成立的，則將這些函數(shù)稱為線性相關(guān)的，否則就稱這些函數(shù)在所給的定義區(qū)間上是線性無(wú)關(guān)的 . 定理 3 （朗斯基行列式） 定義在區(qū)間 a t b?? 上的 k 個(gè)可微的 1k? 次的函數(shù) 12( ), ( ), ( )kx t x t x t所作成的行列式 121212( 1 ) ( 1 ) ( 1 )12[ ( ), ( ), , ( )]( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0( ) ( ) ( )kkkk k kkW x t x t x tx t x t x tx t x t x tWtx t x t x t? ? ?? ? ??? 稱為這些函數(shù)的朗斯基行列式 . 如果函數(shù) 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t在區(qū)間 a t b?? 上是線性相關(guān)的，那么在區(qū)間a t b?? 上它們的朗斯基行列式為 ( ) 0Wt? . 定理 4 如果方程（ ）的解 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t在區(qū)間 a t b?? 上是線性無(wú)關(guān)的，那么 12[ ( ), ( ), , ( )]nW x t x t x t在這個(gè)區(qū)間的任何點(diǎn)上都不等于零，即 ( ) 0Wt? . 定理 5 n 階齊次線性微分方程（ ）一定存在 n 個(gè)線性無(wú)關(guān)的解。 定理 7 （齊次和非齊次微分方程解的聯(lián)系） 設(shè) 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t是方程（ ）的基本解組，而 ()xt 是方程（ ）的某一個(gè)解，則方程（ ）的通解可以表示為 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 5 1 1 2 2( ) ( ) ( ) ( )nnx c x t c x t c x t x t? ? ? ? ? （ ） 其中 12,nc c c 為任意常數(shù)。 性質(zhì) 1 如果 ()xt是方程（ ）的解，而 ()xt 是方程（ ）的解，那么 ( )+ ( )xt x t 也是方程（ ）的解。 取 txe?? 其中 ? 是待定系數(shù)，可能是實(shí)的，也可能是復(fù)的。這里把方程（ ）稱為方程（ ）的特征方程，它的根就是特征根，而特征根又分為兩種情況： 特征根是單 根 定理 1 設(shè) 12, , , n? ? ? 是特征方程（ ）的 n 個(gè)彼此不相等的根，那么相應(yīng)的方程（ ）有如下 n 個(gè)解： 12, , , nttte e e??? （ ） 這 n 個(gè)解在區(qū)間 a t b?? 上線性無(wú)關(guān)，從而組成方 程的基本解組。 定理 3 如果特征方程有復(fù)根，則因方程的系數(shù)是常實(shí)數(shù)，復(fù)根將成對(duì)共軛的出現(xiàn)。 分析：例題 1 和例題 2 分別對(duì)應(yīng)定理 3 和定理 2，通過(guò)對(duì)特征方程的求解，套用相關(guān)公式，最終得出相對(duì)應(yīng)的齊次微分方程的通解。即特征方程的 k 重零根就對(duì)應(yīng)于方程（ ）的 k 個(gè)線性無(wú)關(guān)解 211, , , , kt t t ? . 情況 2 1 0,?? 作變量變換 1tx ye?? ，變換可將方程（ ）化為 11 1 11d d d[ ] + + + +d d dnnnnnny y yL y b b b yt t t???? （ ） 其中仍然為常數(shù)，而相應(yīng)的特征方程為 111( ) 0 .nn nnG b b b? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? （ ） 在這里，方程（ ）的 1k 重根 1 0?? 對(duì)應(yīng)于方程（ ）的 1k 個(gè)解 1 121, , , , ,ky t t t ?? 因此對(duì)應(yīng)于特征方程（ ）的 1k 重根 1? 方程（ ）有 1k 個(gè)解 1 1 1 1 112, , , ,t