【正文】 0,c t c t????和 22 ( )tc t t? ? 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 12 于是 32 2 1 111( ) , ( )26c t t c t t??? ? ? ? ? 故得原方程的通解為 2312 13x t t??? ? ? 這里 1? 和 2? 是任意常數(shù)。所以 212x At B??，這里 ,AB為任意常數(shù)。 例 1 求方程 1cosxx t???? 的通解，已知他的對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程的基本解組為cos ,sin .tt 解 應(yīng)用常數(shù)變易法，令 12( ) c o s ( ) s inx c t t c t t?? 將它帶入方程，則可以的到?jīng)Q定 1()ct? 和 2()ct? 的兩個(gè)方程 12c o s ( ) sin ( ) 0tc t tc t????和 12 1s i n ( ) co s ( ) .co stc t tc t t??? ? ? 解得 12sin( ) , ( ) 1c o stc t c tt??? ? ? 由此 1 1 2 2( ) l n c o s , ( )c t t c t t??? ? ? ? 于是原方程的通解為 12c o s s i n c o s l n c o s s i nx t t t t t t??? ? ? ? 其中 1? 和 2? 為任意常數(shù) . 例 2 求方程 2tx x t?? ???于域 0t? 上的所有解 . 解 對(duì)應(yīng)齊次線性微分方程為 0tx x?? ??? 容易直接積分求得它的基本解組。 為了得到方程的一個(gè)解，只需給常數(shù) i? ( 1,2, , )in? 以確定的值。 常數(shù)變易法實(shí)際上也是一種變量變換的方法，這里簡(jiǎn)單介紹一下該方法在高階微分方程中的應(yīng)用。 在 節(jié)，討論了齊次微分方程通解的求法，本節(jié)，主要探討非齊次線性微分方程特解的求解方法。 分析：對(duì)于特征根是重根的情形，在套用公式是需要注意對(duì)實(shí)值解的確定，進(jìn)而得到其通解。 定理 2 對(duì)于特征方程有復(fù)重根的情況，假設(shè) i? ? ??? 是 k 重特征根，則 i? ? ???也是 k 重特征根，得到方程（ ）的 2k 個(gè)實(shí)值解 . 111212co s , co s , co s , , co ss i n , s i n , s i n , , s i nkt t t tkt t t te t te t t e t t e te t te t t e t t e t? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ??? 例 3 求方程 233 3 0x ax a x a x??? ?? ?? ? ? ?的通解 解 特征方程， 3 2 33 3 0a a a? ? ?? ? ? ?或 3( ) 0???，即是 a?? 三重根，因此方程的通解具有形狀 21 2 3()atx c c t c t e? ? ? 其中 12,nc c c 是任意常數(shù)。 定理 1 特征方程有重根，則如所周知 ( 1 ) ( )1 1 1 1( ) ( ) ( ) 0 , ( ) 0 .kkF F F F? ? ? ???? ? ? ? 情況 1 1 0?? ，即特征方程有因子，于是 11 0n n n ka a a? ? ?? ? ? ? 也就是特征方程的形狀為 11 =0n n knkaa? ? ?? ?? ? ? 對(duì)應(yīng)的方程（ ）變?yōu)? 11 1d d d+ + + = 0d d dn n knkn n kx x xaat t t??? 易得它有 k 個(gè)解 211, , , , kt t t ? ，而且它們是線性無關(guān)的。設(shè) 1 i? ? ??? 是一特征根，則 2 i? ? ??? 也是特征根，因此這對(duì)共軛復(fù)根是對(duì)應(yīng)的，方程（ ）有兩個(gè)復(fù)值解 ( i )( i )( co s i s i n ) ,( co s i s i n ) .t a tt a te e t te e t t???????????? 例 1 求方程 0yy?????的通解 . 解 由題可得特征方程為 3 10? ?? ，它的根為 1 2 31 3 1 31 , ,2 2 2 2ii? ? ?? ? ? ? ? ? ?.， 故方程的通解為 121 2 2 333( c o s s i n )22xxy c e c e c x c x?? ? ? 這里 12,nc c c 是任意常數(shù) 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 8 例 2 求解方程的 ( 4 ) 5 4 0x x x??? ? ?通解 . 解 由題可得特征方程為 425 4 0??? ? ? 或 22( 1)( 4 0)??? ? ?，解得1 2 3 41 , 1 , 2 , 2? ? ? ?? ? ? ? ? ?一共 4 個(gè)單根，所以原方程的通解為 221 2 3 4t t t tx c e c e c e c e??? ? ? ? 其中 12,nc c c 是任意常數(shù)。 定理 2 如果 i? ( 1,2, , )in? 均為實(shí)數(shù)，那么（ ）是方程（ ）的 n 個(gè)線性無關(guān)的實(shí)值解，而方程（ ）的通解可以表示為 1212 n ttt nx c e c e c e ???? ? ? ? 其中 12,nc c c 是任意常數(shù)。將 txe?? 帶入（ ）有 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 7 1111111d d dLd d d( ) ( )n t n t tttnnnnn n t tnne e ee a a a et t ta a a e F e? ? ?????? ? ? ????? ??? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ? 其中 111() nn nnF a a a? ? ? ?? ?? ? ? ? ? 是 ? 的 n 次多項(xiàng)式 .若使 txe?? 是方程（ ）的解，那么有充要條件， ? 是代數(shù)方程 111( ) 0nn nnF a a a? ? ? ?? ?? ? ? ? ? ? （ ） 的根。 性質(zhì) 2 方程（ ）的任意兩個(gè)解之差必為方程（ ）的解 . 這里，給出相關(guān)例題，以對(duì)相關(guān)概念加深理解 . 例 1 設(shè) ()xt 和 ()yt 是區(qū)間 a t b?? 上的連續(xù)函數(shù)，證明：如果區(qū)間在 a t b?? 上有()()xtyt? 常數(shù)或 ()()ytxt? 常數(shù)，則和在區(qū)間 a t b?? 上線性無關(guān) . 證明 反證法 .假設(shè) ()xt 和 ()yt 在區(qū)間 [,]ab 上線性相關(guān)，則存在不全為零的常數(shù) 1C 和 2C 使得 12( ) ( ) 0 , [ , ]C x t C y t t a b? ? ? 若 2 0C? ，則 12()()y t Cx t C?? ?常數(shù) 若 1 0C? ，則 21()()x t Cy t C?? ?常數(shù) 在這兩種情況下，都和已知條件 ()()xtyt? 常數(shù)或者 ()()ytxt? 常數(shù)矛盾，所以假設(shè)不成 立，即證明了 ()xt 和 ()yt 在區(qū)間 [,]ab 上是線性無關(guān)的 . 分析：在本題中使用了反證法求解該問題，在對(duì)定理 2 進(jìn)行相關(guān)正向陳述，從而引出了與已知條件的矛盾點(diǎn)，進(jìn)而得證問題，該題考察了對(duì)函數(shù)線性相關(guān)定理 . 例 2 證明非齊次線性微分方程的疊加原理：設(shè) 12( ), ( )x t x t 分別是非齊次線性微分方程 11 1 1111 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ),d d dd d d( ) ( ) ( ) ( ).d d dnnnnnnnnx x xa t a t a t x f tt t tx x xa t a t a t x f tt t t??????? ? ? ?? ? ? ? 的解，則 12( ) ( )x t x t? 是方程 畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文） 6 11 1 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d dnnnnx x xa t a t a t x f t f tt t t???? ? ? ? ? 的解 . 證明 由于 12( ), ( )x t x t 分別是非齊次線性微分方程 11 1 1111 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ),d d dd d d( ) ( ) ( ) ( ).d d dnnnnnnnnx x xa t a t a t x f tt t tx x xa t a t a t x f tt t t??????? ? ? ?? ? ? ? 的解，所以滿足 11 1 11 1 1 1112 2 21 1 2 21d ( ) d ( ) d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ),d d dd ( ) d ( ) d ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ).d d dnnnnnnnnnnnnx t x t x ta t a t a t x t f tt t tx t x t x ta t a t a t x t f tt t t??????? ? ? ?? ? ? ? 把以上的兩個(gè)式子相加，并且利用導(dǎo)數(shù)的相關(guān)運(yùn)算法則有 11 2 1 21 1121 1 2 1 2d ( ( ) ( )) d ( ( ) ( ))()ddd ( ( ) ( ))( ) ( )( ( ) ( )) ( ) ( ).dnnnnnnx t x t x t x tatttx t x ta t a t x t x t f t f tt???????? ? ? ? ? 這就是 12( ) ( )x t x t? 說是方程 11 1 1 21d d d( ) ( ) ( ) ( ) ( )d d dnnnnx x xa t a t a t x f t f tt t t???? ? ? ? ? 的解 . 分析：本題對(duì)常微分方程的解的疊加原理做了進(jìn)一步的闡述 .常微分常微分方程的疊加原理均適用于齊次和非齊次微分方程 . 高階齊次線性微分方程 設(shè)齊次線性微分方程中所有的系數(shù)都是常 數(shù)，那么方程具有如下形式 ? ? 1111d d dL0d d dnn nnnnx x xx a a a xt t t? ??? ? ? ? ? ? （ ） 其中 naaa , 21 ? 為常數(shù) .稱（ ）為階常系數(shù)齊次線性微分方程。而且這個(gè)通解（ ）包括了（ ）的所有解。 定理 6 （通解的結(jié)構(gòu)定理） 如果 12( ), ( ), , ( )nx t x t x t是方程（ ）的 n 個(gè)線性無關(guān)的解， 那么方程（ ）的通解可以表示為 1 1 2 2( ) ( ) ( )nnx c x t c x t c x t? ? ? ? （ ） 其中 12,nc c c 是任意常數(shù)，而且通解 ()包括了方程（ ）的所有解。如果( ) 0ft? ，那么方程（ ）變?yōu)? 1111d d d( ) ( ) ( ) 0d d dnnnnx x xa t a t a t xt t t???? ? ? ? （ ） 稱為 n 階齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱為齊次線性微分方程，而另一方面，稱一般的方程（ ）為 n 階的非齊次線性微分方程，簡(jiǎn)稱為非齊次線性微分方程，并且通常把方程（ ）叫做對(duì)應(yīng)方程的齊次線性微分方程。 把不包含任意常數(shù)的方程的解 ()yx?? ，稱為方程（ ）的特解。 微分方程的解可以包括任意的常數(shù)，其中任意常 數(shù)的常數(shù)能夠多到和方程的階數(shù)相等，當(dāng)然這里也可以不包括任意常數(shù)。而一般的 n 階常微分方程可以表示成如下形式 dd( , , , , ) 0nnyyF x y xx ?， （ ） 在這里 dd( , , , , )n nyyF x y xx 是 dd, , , , nnyyxy xx的已知函數(shù)，而且一定含有 ddnnyx； y 是未知函數(shù)， x 是自變量。 2 高階微分方程的理論與結(jié)構(gòu) 3 定義 1 （常微分方程） 在數(shù)學(xué)中將聯(lián)系著自變量、未知函 數(shù)及其導(dǎo)數(shù)的關(guān)系式稱為微分方程；在微分方程中，將自變量的只有一個(gè)的方程，稱為常微分方程。 MATLAB 符號(hào)工具箱提供了一個(gè)線性常系數(shù)微分方程的函數(shù) dsolve，這個(gè)函數(shù)允許用字符串的形式描述微分方程及初值、邊值條件，最終得出微分方程的解析解。 MATLAB 軟件是由美國(guó)的 Clever Moler 博士研究而來的，它以矩陣運(yùn)算為基礎(chǔ)，把計(jì)算、可視化、程序設(shè)計(jì)融合到了一個(gè)簡(jiǎn)單易用的交互式工作環(huán)境中，可實(shí)現(xiàn)工程計(jì)算、算法研究、符號(hào)運(yùn)算 、建模和仿真、原型開發(fā)、數(shù)據(jù)分析及可視化、科學(xué)和工程繪圖、應(yīng)用程序設(shè)計(jì)等功能。 MATLAB 語言的功能也越來越強(qiáng)大，不