常系數(shù)非齊次線性微分方程-文庫(kù)吧資料
2025-05-05 06:45本頁(yè)面
【正文】 *y ?? 2[ ( ) 2 ( ) ( ) ] xQ x Q x Q x e ????? ?? ? ?代入原方程，并約去 eαx ，得 2( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )mQ x p Q x p q Q x P x? ? ??? ?? ? ? ? ? ?(3)四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 (1) 若 λ 不是特征根： 2 0pq??? ? ?則 Q(x) 與 Pm(x) 是同次多項(xiàng)式： ( ) ( )mQ x Q x?* ( ) xmy Q x e ??方程的通解形如： 2( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )mQ x p Q x p q Q x P x? ? ??? ?? ? ? ? ? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 2( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )mQ x p Q x p q Q x P x? ? ??? ?? ? ? ? ? ?(2) 若 λ 是特征單根： 2 0pq??? ? ?則 Q’(x) 與 Pm(x) 是同次多項(xiàng)式， Q(x) 是比 Pm(x) 高一次的多項(xiàng)式： 1( ) ( )mQ x Q x??* ( ) xmy x Q x e ??方程的通解形如： 20p? ??但 ( ) ( 2 ) ( ) ( )mQ x p Q x P x??? ?? ? ?Qm＋ 1(x) 的零次冪不起作用 ()mxQ x?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 (3) 若 λ 是特征重根： 2 0pq??? ? ?則 Q’’(x) 與 Pm(x) 是同次多項(xiàng)式， Q(x) 是比 Pm(x) 高 2 次的多項(xiàng)式： 2( ) ( )mQ x Q x??2* ( ) xmy x Q x e??方程的通解形如： 20p? ??且 ( ) ( )mQ x P x?? ?2 ()mx Q x?Qm＋ 2(x) 的零次冪和一次冪不起作用 2( ) ( 2 ) ( ) ( ) ( ) ( )mQ x p Q x p q Q x P x? ? ??? ?? ? ? ? ? ?四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 綜上所述， () xmy y yp eq Px??? ?? ? ?的特解形式為： * ( ) xmky x Q x e ??k??? ???0 當(dāng) λ 不是特征根 1 當(dāng) λ 是特征單根 2 當(dāng) λ 是特征重根 10 1 1( ) . . .mmm m mQ x a x a x a x a? ?? ? ? ? ?將 Qm(x) 代入方程 (3)，比較兩端同次冪的系數(shù) 即可求出待定系數(shù)： a0, a1, …, am 此公式見(jiàn) 《 學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 338頁(yè) 四川大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院 徐小湛 June 2022 Revised March 2022 特別地， ()mpqyy Pxy?? ?? ? ?特解形式為： * ( )mky x Q x?k??? ???0 當(dāng) 0 不是特征根 1 當(dāng) 0 是特征單根 2 當(dāng) 0 是特征重根 0? ?此公式見(jiàn) 《 學(xué)習(xí)手冊(cè) 》 339頁(yè) ( 0 )q ?2 0r pr q? ? ?( 0 , 0 )q
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