【微積分】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程-文庫吧資料
2025-05-01 04:37本頁面
【正文】 qp根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為 Yy ? *y?非齊次方程特解 齊次方程通解 求特解的方法 根據(jù) f (x) 的特殊形式 , 的待定形式 , 代入原方程比較兩端表達(dá)式以確定待定系數(shù) . ① — 待定系數(shù)法 第七節(jié) (2) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 )([e xQx ??? )()2( xQp ??? ? ])()( 2 xQqp ??? ??)(e xP mx??I. 型)(e)( xPxf mx??? 為實(shí)數(shù) , )(xPm設(shè)特解為 ,)(e* xQy x?? 其中 為待定多項(xiàng)式 , )(xQ])()([e* xQxQy x ???? ??])()(2)([e* 2 xQxQxQy x ???????? ???代入原方程 , 得 為 m 次多項(xiàng)式 . )( xfyqypy ??????(1) 若 ? 不是特征方程的根 , 則取 從而得到特解 形式為 .)(e* xQy mx??Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項(xiàng)式 (2) 若 ? 是特征方程的單根 , 為 m 次多項(xiàng)式 , 故特解形式為 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , ,02 ?? p?)( xQ ??則 是 m 次多項(xiàng)式 , 故特解形式為 xm xQxy ?e)(* 2?小結(jié) 對(duì)方程① , )2,1,0(e)(* ?? kxQxy xmk ?此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 . )(xQ?? )( xPm? )()( 2 xQqp ??? ??即 即 當(dāng) ? 是特征方程的 k 重根 時(shí) , 可設(shè) 特解 xm xxQy ?e)(* ?.23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0232 ??? rr特征根 ， 21 21 ?? rr,221 xx eCeCY ??是單根，2??? ,)()( 22 xx exQeBAxxy ????設(shè)代入方程 , 得 ,1,21 ???? BAxexxy 2)121( ???于是原方程通解為 .)121( 2221xxx exxeCeCy ????例 1 ,)2(12 xBAxA ????.)1(44 2 的通解求方程 xexyyy ???????解 對(duì)應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0442 ??? rr特征根 ，221 ?? rr,)( 221 xexCCY ??是重根，2??? ,)()( 222 xx exQeBAxxy ????設(shè)126 ??? xBAxxexxy 22 )2161( ???于是原方程通解為 .)2161()( 22221xx exxexCCy ????例 2 ),()( xPxQ m???.21,61 ?? BA代入方程 , 得 ,)1(44 2 xexyyy ???????原方程通解為 .)2161()( 22221xx exxeCxCy ????法二 ,)1()2(2)2( 2 xexyyyy ????????,1)2(2)2( 22 ???????? ?? xyyeyy
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