【正文】 1??????????? ????inj jijxibxaM則對任意給定的 ，有 0???? ? ????? dxufdxuuMInix i ||||||||21??? ???? ???????????????????????dxfdxunMdxuMdxfudxundxuMnixnixii22122221221)21(||)(212||22????取 ,則由 ()及假設(shè) ()可得 M2?? ?? ??? ? ???? ???nixnix dxudxcudxu ii12212 ||2|| ?.21212 222 ????????????? ?? dxfdxunM?令 ,則當 時就有 2120 ?? ??nM 0???c)(.21||2212 ?? ??? ?? dxfdxunix i?利用邊界條件 ()及弗里德里克斯不等式 (),可知存在不依賴于 的正常數(shù) ,使成立 u C.)||( 2122 ?? ??? ??? dxfCdxuunix i證畢 . . 2210220( , ) ( , ) ( , ) ( , )( , 0) ( ) , ( , 0) ( ) ( 1 )| 0 , | 0x x lu u u ub x t b x t c x t u f x tt x x tuu x x x xtuu????? ? ? ?? ? ? ? ?? ? ? ???????引入能量函數(shù) 2201( ) ( )2ltxE t u u d x d t???有如下定理 : 定理 ： 若 為初值問題 (1)的解 ,則成立如下不等式 ),( txu200( ) ( 0) , 0 ,tlC t C tE t E e C e f dx dt t T? ? ? ???其中 為一個不依賴于 的正常數(shù) . C u證明： 令 乘以上式 ,并在 上關(guān)于 積分 ,得到對任何 成立 tu [0, ]lx)0( Ttt ??21000( ) . ( 2)llt tt t x x t x t t tu u u u b u u b u c uu dx f u dx? ? ? ? ???(2)左端第一式可寫為 。 在 上考察下列的二階拋物方程 . ),0( TQ T ???)(),(),(),(),(11,txfutxcutxbutxaunixinjixxijt iji ???? ????其中對于系數(shù)及右端項假設(shè)仍同上一段中的（ 1）和（ 2）， 初始條件和邊界條件如下 )(.0|)(,),(:0?????? Tuxxut ?定理 ： 若 為初邊值問題（ ） — （ ）的解， 則成立能量估計式 ),( txu,21)( 2??? dxutE)(,0,)0()( 0 2 Ttd x d tfeeEtE tCtCt ???? ? ??其中 為一個不依賴于 的常數(shù)。在（ ）兩邊乘以 再對 積分，即可得 Cu tet.)0()( 0 2? ???? tCtCt d xd tfCeeEtE定理得證。 利用（ ）式，由（ ）既有 ,)(),(1221 ? ?? ????? dxuuCdxuuupnixtxt i其中 是一個與 無關(guān)的正常數(shù)。 1C? 2u ?引理 ： 設(shè) 在有界區(qū)域 上連續(xù)可微，且在邊界 上 為零，則成立如下的弗里德里克斯（ Friedirichs）不等式： )(xuu ? nR?? ?)(,1202 ? ??? ??? dxuCdxunix i其中 是一個與 無關(guān)的正常數(shù)。由于系數(shù)可微性假設(shè)（ 1），有 dtdE,)(),(12221 ? ?? ?????? dxuuuCdxuuupnixtxt i其中 是一個與 無關(guān)的正常數(shù)。 特征方程 ：在 維空間 的某一區(qū)域 上，考察下面的二階線性方程 其中 及 為 的已知函數(shù) . 如果在 上成立 n ),(21 nxxx ??)(.11,2fcuxubxxuani iinji jiij ???????? ????ba iij ),2,1(, ?? f ),( 21 nxxxx ??對于超曲面 .0),(: 21 ?nxxxS ??S)(,01,???????nji jiij xxa??則稱 為方程 () 的特征曲面 . S對一個固定點 ,如果過該點的方向 滿足 方程 (),則稱此方向為特征方向 .稱 x ),(21 nl ??? ?注 :特征方程只依賴方程 ()二階偏導(dǎo)數(shù)的系數(shù) . 這里 ,我們總假設(shè) 為方向余弦 . 211,niii?????,10 , ( 2 . 8 )ni j i jija ?????為 ()的特征方程 . 例 1:求下列方程的特征方程和特征方向 . .2 2122222122211 fcuyubxubyuayxuaxua ?????????????????解 ：方程 的特征方程是 .02 222221122111 ??? ???? aaa滿足上述關(guān)系的 是特征方向 ,該方程的特征線 ),(21 ??,0),( ?yx?滿足 .02 22212211 ??? yyxx aaa ????例 2:求拉普拉斯方程 的特征方程和特征方向 . .022222212??????????nxuxuxu ?解 ：方程 的特征方程是 .022221 ???? n??? ?同時 又要滿足 .122221 ???? n??? ?n??? ?21 ,所以拉普拉斯方程沒有實的特征方向 . 例 3:求熱傳導(dǎo)方程 .2222222????????????????yuxuatu解 ：方程 的特征方程是 2 2 2 20 1 2( ) .a? ? ???同時 又要滿足 0 1 2,? ? ?2220 1 2 1.???? ? ?所以 22 002 20.1 1aaa? ??? ? ? ?? ?所以過任一點的特征方向與 軸的夾角為 ,其方向余弦可以寫為 t 1arctan a222c o s s i n( , , )111aaaa?????作業(yè) 1(1)(2) 解 ： 1(1):方程 的特征方程是 2 2 2 21 2 3 4? ? ? ?? ? ?又 22221 2 3 4 1????? ? ? ?所以 2 2 2 21 2 3 412? ? ? ?? ? ? ?引進參數(shù) 得特征方向 1 1 1 1c o s , s i n , c o s , s i n2 2 2 2? ? ? ???????,??解 ： 1(2):方程 的特征方程是 2 2 2 20 1 2 3( ) 0? ? ? ?? ? ? ?又 22221 2 3 4 1????? ? ? ?所以 2 2 2 2 20 1 2 3 0112 2? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ?所以任一點特征方向與 軸的夾角為 t4?三、三類方程的比較 (共性 ). 線性： 這里 是任意給定的常數(shù) . 如果 表示線性算子 ,那么方程 為 線性微分方程 .特別地 ,當 ,為 齊 次 線性微分方程 . L fLu ?0?f1 1 2 2 1 1 2 2[ ] [ ] [ ]L C u C u C L u C L u? ? ?, 1, 2iCi ?L疊加原理 1： 設(shè) 滿足線性方程或定解條件 又假設(shè)它們的組合 滿足一定的條件 ,那么 也滿足 nifCLu inii ,2,1,1??? ??特別地 ,若 滿足齊次方程 , 也滿足此齊次方程 . iu nifLu ii ,2,1, ??????niiiuCu1uiuu.),( 00?? dMMMfLu疊加原理 2： 設(shè) 滿足線性方程或定解條件 ),( 0MMu其中 為參數(shù) .又假設(shè) 滿足一定的 條件 ,那么 滿足方程或定解條件 ),( 0MMfLu ?0M 00( ) ( , )U M u M M d M? ?)(MU特別地 ,若 滿足齊次方程 , 也滿足此齊次方程 . u U(1) 解的光滑性 波動方程 :初始條件 2 三類方程解的比較 21 )(),0(,)(),0( CxxuCxxu t ???? ??且 的三階導(dǎo)數(shù)不存在 , 則解 )(x?? ?11( , ) ( ) ( ) ( )d22 x a tx a tu x t x a t x a t a? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?的三階偏導(dǎo)數(shù)也不存在 . 熱傳導(dǎo)方程 :初始條件