二階非齊次線性微分方程的解法-文庫吧資料
2025-06-24 06:16本頁面
【正文】 求方程的滿足初值條件及的解解 設(shè) ，可以得到因而將的表達式代入原方程，合并的同次冪的項，并令各項系數(shù)等于零，得到因而最后得對一切正整數(shù)成立.將的值代回就得到、這就是方程滿足所給初值條件的解.例用冪級數(shù)解法求解方程解 因為，得比較的同次冪的系數(shù)，得解得 所以，原方程的通解為即方程組的消元法 在某些情形下，類似于代數(shù)方程組的消元，我們可以把多個未知函數(shù)的線性方程組化為某一個未知函數(shù)的高階微分方程來求解例 求解線性微分方程組解 從第一個方程可得 把它代入第二個方程，就得到關(guān)于的二階方程式不難求出它的一個基本解組為把和分別代入式，得出的兩個相應的解為由此得到原來微分方程組的通解為其中和為任意常數(shù)二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法常用于解決常系數(shù)非齊次線性微分方程類型一 的特解，其中為特征方程的根的重數(shù)(單根相當于；當不是特征根時，取),而.類型二 的特解，其中為特征方程的根的重數(shù)，而均為待定的帶實系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項式，.求方程的通解解 先求對應的齊次線性微分方程.因此，通解為，故可取特解形如,B,將代入原方程，得到，比較系數(shù)得由此得從而因此，原方程的通解為求方程的 通解.解 特征方程有重根，因此，對應的齊次線性微分方程的通解為，我們求形如的特解，將它代入原方程并化簡得到比較同類項系數(shù)得從而因此
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