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二階非齊次線性微分方程的解法-文庫(kù)吧資料

2025-06-24 06:16本頁(yè)面
  

【正文】 求方程的滿足初值條件及的解解 設(shè) ,可以得到因而將的表達(dá)式代入原方程,合并的同次冪的項(xiàng),并令各項(xiàng)系數(shù)等于零,得到因而最后得對(duì)一切正整數(shù)成立.將的值代回就得到、這就是方程滿足所給初值條件的解.例用冪級(jí)數(shù)解法求解方程解 因?yàn)?,得比較的同次冪的系數(shù),得解得 所以,原方程的通解為即方程組的消元法 在某些情形下,類似于代數(shù)方程組的消元,我們可以把多個(gè)未知函數(shù)的線性方程組化為某一個(gè)未知函數(shù)的高階微分方程來(lái)求解例 求解線性微分方程組解 從第一個(gè)方程可得 把它代入第二個(gè)方程,就得到關(guān)于的二階方程式不難求出它的一個(gè)基本解組為把和分別代入式,得出的兩個(gè)相應(yīng)的解為由此得到原來(lái)微分方程組的通解為其中和為任意常數(shù)二階非齊次線性微分方程待定系數(shù)法常用于解決常系數(shù)非齊次線性微分方程類型一 的特解,其中為特征方程的根的重?cái)?shù)(單根相當(dāng)于;當(dāng)不是特征根時(shí),取),而.類型二 的特解,其中為特征方程的根的重?cái)?shù),而均為待定的帶實(shí)系數(shù)的次數(shù)不高于的的多項(xiàng)式,.求方程的通解解 先求對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程.因此,通解為,故可取特解形如,B,將代入原方程,得到,比較系數(shù)得由此得從而因此,原方程的通解為求方程的 通解.解 特征方程有重根,因此,對(duì)應(yīng)的齊次線性微分方程的通解為,我們求形如的特解,將它代入原方程并化簡(jiǎn)得到比較同類項(xiàng)系數(shù)得從而因此
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