【正文】 解 : ,0)(2 ?????? yxyxy ?代入將代入再將 xy 1? )(1 xfyxy ?????故所給二階非齊次方程為 331xyxy ?????方程化為 設(shè)二階非齊次方程 一階線性非齊次方程 故 ??xx d1exCx 121 ????再積分得通解 2211 CxCxy ??? )( 1211 CC ??? ?1d13 de3 Cxxxx?????的解 . 6. 設(shè)函數(shù) 內(nèi)具有連續(xù)二階導(dǎo)數(shù) , (1) 試將 x＝ x( y) 所滿足的微分方程 變換為 y＝ y(x) 所滿足的微分方程 。)( xfyqypy ?????? ),( 為常數(shù)qp根據(jù)解的結(jié)構(gòu)定理 , 其通解為 Yy ? *y?非齊次方程特解 齊次方程通解 求特解的方法 根據(jù) f (x) 的特殊形式 , 的待定形式 , 代入原方程比較兩端表達式以確定待定系數(shù) . ① — 待定系數(shù)法 第七節(jié) (2) 二階常系數(shù)非齊次線性微分方程 )([e xQx ??? )()2( xQp ??? ? ])()( 2 xQqp ??? ??)(e xP mx??I. 型)(e)( xPxf mx??? 為實數(shù) , )(xPm設(shè)特解為 ,)(e* xQy x?? 其中 為待定多項式 , )(xQ])()([e* xQxQy x ???? ??])()(2)([e* 2 xQxQxQy x ???????? ???代入原方程 , 得 為 m 次多項式 . )( xfyqypy ??????(1) 若 ? 不是特征方程的根 , 則取 從而得到特解 形式為 .)(e* xQy mx??Q (x) 為 m 次待定系數(shù)多項式 (2) 若 ? 是特征方程的單根 , 為 m 次多項式 , 故特解形式為 (3) 若 ? 是特征方程的重根 , ,02 ?? p?)( xQ ??則 是 m 次多項式 , 故特解形式為 xm xQxy ?e)(* 2?小結(jié) 對方程① , )2,1,0(e)(* ?? kxQxy xmk ?此結(jié)論可推廣到高階常系數(shù)線性微分方程 . )(xQ?? )( xPm? )()( 2 xQqp ??? ??即 即 當 ? 是特征方程的 k 重根 時 , 可設(shè) 特解 xm xxQy ?e)(* ?.23 2 的通解求方程 xxeyyy ??????解 對應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0232 ??? rr特征根 ， 21 21 ?? rr,221 xx eCeCY ??是單根，2??? ,)()( 22 xx exQeBAxxy ????設(shè)代入方程 , 得 ,1,21 ???? BAxexxy 2)121( ???于是原方程通解為 .)121( 2221xxx exxeCeCy ????例 1 ,)2(12 xBAxA ????.)1(44 2 的通解求方程 xexyyy ???????解 對應(yīng)齊次方程通解 特征方程 ,0442 ??? rr特征根 ，221 ?? rr,)