【微積分】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(文件)
【正文】 21 xxxCxCy ???（取虛部） )()()2()( xPxQpxQ m?????? ?代入輔助方程 ,得 .2c o s 的通解求方程 xxyy ????解 對應(yīng)齊次方程通解 ,s i nc o s 21 xCxCY ??作輔助方程 ,2 ixxeyy ????,2 不是特征方程的根i???,)( 2* ixeBAxy ??設(shè) 代入輔助方程 ???????13034ABAi ,9431 iBA ????? ，,)9431( 2* ixeixy ????例 5 )2s in2) ( c o s9431( xixix ????所求非齊方程特解為 ,2s i n942c os31 xxxy ???原方程通解為 .2s in942c o s31s inc o s 21 xxxxCxCy ????,)2s in312c o s94(2s in942c o s31 ixxxxxx ?????（取實部） 注意 xAexAe xx ?? ?? s i n,c o s.)( 的實部和虛部分別是 xiAe ?? ?).2c o s(214 xxyy ?????求解方程例 6 解 特征方程 ,042 ??r特征根 ,22,1 ir ??對應(yīng)的齊方的通解為 .2s i n2c o s 21 xCxCY ??設(shè)原方程的特解為 .*2*1* yyy ??,)1( *1 baxy ??設(shè) ,)( *1 ay ??則 ,0)( *1 ???y，得代入 xyy 214 ???? ，xbax 2144 ??由 ，04 ?b，214 ?a解得 ，0?b，81?a。s in)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??(待定系數(shù)法 ) 只含上式一項解法 ： 作輔助方程 ,求特解 , 取特解的實部或虛部 , 得原非齊方程特解 . 補充題 : 1. 寫出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????的待定特解的形式 . 解 : 設(shè) 的特解為 2644 xyyy ?????? *1yxeyyy 2844 ??????設(shè) 的特解為 *2y*2y?*1* yy ?則所求特解為 0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2 ? （重根） *2y?*1* yy ? CBxAx ??? 2 .22 xeDx?2. 解 : (1) 特征方程 有二重根 所以設(shè)非齊次方程特解為 (2) 特征方程 有根 xxyy x si n3e)2( )4( ??????利用疊加原理 , 可設(shè)非齊次方程特解為 )si nc o s( xkxdx ??寫出下列高階常系數(shù)線性非齊次方程的特解形式 : 3. 求微分方程 xyyy ?e44 ?????? 的通解 (其中 ?為實數(shù) ) . 解 : 特征方程 ,0442 ??? rr 特征根 : 221 ??? rr對應(yīng)齊次方程通解 : 2??? 時 , ,e xAy ???令 代入原方程得
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