【微積分】二階常系數(shù)非齊次線性微分方程(編輯修改稿)
2025-06-05 04:37 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 .2c o s 的通解求方程 xxyy ????解 對應(yīng)齊次方程通解 ,s i nc o s 21 xCxCY ??作輔助方程 ,2 ixxeyy ????,2 不是特征方程的根i???,)( 2* ixeBAxy ??設(shè) 代入輔助方程 ???????13034ABAi ,9431 iBA ????? ，,)9431( 2* ixeixy ????例 5 )2s in2) ( c o s9431( xixix ????所求非齊方程特解為 ,2s i n942c os31 xxxy ???原方程通解為 .2s in942c o s31s inc o s 21 xxxxCxCy ????,)2s in312c o s94(2s in942c o s31 ixxxxxx ?????（取實部） 注意 xAexAe xx ?? ?? s i n,c o s.)( 的實部和虛部分別是 xiAe ?? ?).2c o s(214 xxyy ?????求解方程例 6 解 特征方程 ,042 ??r特征根 ,22,1 ir ??對應(yīng)的齊方的通解為 .2s i n2c o s 21 xCxCY ??設(shè)原方程的特解為 .*2*1* yyy ??,)1( *1 baxy ??設(shè) ,)( *1 ay ??則 ,0)( *1 ???y，得代入 xyy 214 ???? ，xbax 2144 ??由 ，04 ?b，214 ?a解得 ，0?b，81?a。81*1 xy ??),2s i n2c o s()2( *2 xdxcxy ??設(shè),2s i n)2(2c o s)2()( *2 xcxdxdxcy ?????則,2s i n)44(2c o s)44()( *2 xdxcxcxdy ??????，得代入 xyy 2c o s214 ????故原方程的通解為 .2s in81812s in2c o s 21 xxxxCxCy ????,2c o s212s in42c o s4 xxcxd ??由 ，04 ?? c，214 ?d即 ，81?d，0?c。2s in81*2 xxy ??小結(jié) 可以是復(fù)數(shù)）?? (),()()1( xPexf mx?)。( xQexy mxk ??],s i n)(c o s)([)()2( xxPxxPexf nlx ??? ??]。s in)(c o s)([ )2()1( xxRxxRexy mmxk ??? ??(待定系數(shù)法 ) 只含上式一項解法 ： 作輔助方程 ,求特解 , 取特解的實部或虛部 , 得原非齊方程特解 . 補充題 : 1. 寫出微分方程 xexyyy 22 8644 ???????的待定特解的形式 . 解 : 設(shè) 的特解為 2644 xyyy ?????? *1yxeyyy 2844 ??????設(shè) 的特解為 *2y*2y?*1* yy ?則所求特解為 0442 ??? rr? 特征根 22,1 ?r?CBxAxy ???? 2*1 xeDxy 22*2
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