【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)一、內(nèi)容要點(diǎn)：微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)可分離變量的方程及其他可化為變量可分離的方程的定義及解法。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)本單元的講課提綱：微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)然后再講具體的類(lèi)型與解法—可分離變量的方程與分離變量法。重點(diǎn)是微分方程的階、通解與特解等概念，分離變量法。難點(diǎn)是利用微分方程建立數(shù)學(xué)模型關(guān)鍵是判別可分離變量方程的方法，以及具體積分方法。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)二、教學(xué)要求和注意點(diǎn)微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)掌握可分離變量微分方程的解法微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)注意問(wèn)題：通常只表示一個(gè)原函數(shù)，積分常數(shù)C有時(shí)寫(xiě)成微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)定義1：稱(chēng)能改寫(xiě)為形式：的一階方程為可分離變量方程。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)注：不是所有的方程都能這樣，故可分離變量方程為一階線(xiàn)性方程的特殊情況。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)定理1：若，則的通解為微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)證： （1）先證是方程的解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)兩邊對(duì)求導(dǎo)，得，即微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)故是方程的解微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng) （2）設(shè)是方程的任一解，則微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)兩邊關(guān)于積分，得 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)又 是的一個(gè)原函數(shù)，是的一個(gè)原函數(shù)微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)則，即在中微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)所以， 為的通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)注1:可分離變量方程的解法：先分離變量，再兩邊積分，即得通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)注2：用來(lái)確定通解中的任意常數(shù)的條件，稱(chēng)為方程的初始條件。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)【例1】 求的通解，并求滿(mǎn)足初始條件的特解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)解：方程可變?yōu)?，兩邊積分，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)即 為方程的通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)又，代入，得 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)即滿(mǎn)足初始條件的特解為 微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)【例2】 求的通解。微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)性微柞寓戒箕片頓憎推類(lèi)摹香餃盞蕊淬宇轎殺空丫洶障拍盤(pán)暈信般埠認(rèn)箔程羽估菏徽梆汛凡勿幼睡攢孕休纜契勉嘎酮捍椽讀蔓烹捏蔫認(rèn)六鷗斟內(nèi)謗撰經(jīng)解：由，分離變量，得，兩邊積分，得微積分第九章 微分方程第九章 微分方程一、教學(xué)目標(biāo)及基本要求了解微分方程及其解、通解、初始條件和特解的概念。掌握變量可分離的方程和一階線(xiàn)性方程的解法，會(huì)解齊次方程。會(huì)用降階法解下列方程：。理解二階線(xiàn)性微分方程解的性質(zhì)以及解的結(jié)構(gòu)定理。掌握二階常系數(shù)齊次線(xiàn)