第九章曲線積分與曲面積分習(xí)題解答詳解(編輯修改稿)
2025-04-21 06:51 本頁(yè)面
【文章內(nèi)容簡(jiǎn)介】 。(5) ，其中，為圓周取逆時(shí)針方向，是沿的外法線方向?qū)?shù)。解 由于，其中是在曲線上點(diǎn)處的切線的方向角，故．根據(jù)兩類曲線積分之間的聯(lián)系及格林公式，有 ．因?yàn)闉閳A周，所以所圍成的圓的面積，因此 。3. 計(jì)算曲線積分,其中為(1) 橢圓,取逆時(shí)針方向； (2) 平面內(nèi)任一光滑的不經(jīng)過坐標(biāo)原點(diǎn)的簡(jiǎn)單正向閉曲線. 解 (1)令，則當(dāng)時(shí)，但積分曲線所圍區(qū)域包含點(diǎn)，在該點(diǎn)不具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，因此不能直接應(yīng)用格林公式計(jì)算，需要將奇點(diǎn)去掉，為此作半徑足夠小的圓:，使位于的內(nèi)部，如圖右所示．的參數(shù)方程為，，取逆時(shí)針方向．于是 ， 其中表示的負(fù)方向．由格林公式則有 ，其中為與所圍成的閉區(qū)域．故 ．(2) 分兩種情況計(jì)算。 ① 閉曲線內(nèi)部不包含坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)它所圍成的閉區(qū)域?yàn)?，那么由格林公式得? ② 閉曲線內(nèi)部包含坐標(biāo)原點(diǎn)，仿（1）可得 .4 利用高斯公式計(jì)算下列曲面積分：（1）,其中是由平面及三個(gè)坐標(biāo)面圍成的立方體的表面的內(nèi)側(cè)（）；解 由高斯公式，于是其中是由平面及三個(gè)坐標(biāo)面圍成的立方體區(qū)域。則 。（2），其中為柱面及平面及所圍成的空間閉區(qū)域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè)。解 這里，，由高斯公式得。（3），其中為曲面及平面﹑所圍成的空間區(qū)域的整個(gè)邊界的外側(cè)。解 這里，，用高斯公式來(lái)計(jì)算，得 ，其中是曲面及平面所圍成的空間閉區(qū)域．（4） ，其中為錐面介于平面﹑之間的部分的下側(cè)，﹑﹑是在點(diǎn)處的法向量的方向余弦。解 這里，，由高斯公式得。5 利用高斯公式計(jì)算三重積分，其中是由，及所確定的空間閉區(qū)域。 解 如下圖所示，的邊界由閉曲面所圍成，取的外側(cè)。令,那么由高斯公式得 。在面上，只有和的投影面積不為零，其它都為零。故 ，而，故。同理可得 。所以。6 利用斯托克斯公式計(jì)算下列曲線積分：（1），其中為平面與三個(gè)坐標(biāo)面的交線，其正向?yàn)槟鏁r(shí)針方向，與平面上側(cè)的法向量之間符合右手規(guī)則；解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上側(cè)。由曲面積分的計(jì)算法，得，，故 。（2），其中為以點(diǎn)﹑﹑為頂點(diǎn)的三角形沿的方向。解 由斯托克斯公式得 其中是平面，取上側(cè)。由曲面積分的計(jì)算法，得，，故 。（3）其中為圓柱面與平面（）的交線，若從軸的正向望去,的方向是逆時(shí)針方向.解 如右圖所示，平面上由曲線所圍成的區(qū)域記為，并由的方向確定的的的方向是上側(cè)（即的方向與的方向構(gòu)成右手系）。曲面（平面）的單位法向量為，即，由Stokes公式，有。習(xí)題961．求曲線積分，其中是圓的上半圓周，取順時(shí)針方向. 解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路線無(wú)關(guān)。故可取沿軸上的線段（如右圖所示）積分，即，于是，有 .2 證明下列曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)，并計(jì)算積分值: (1) ；解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。(2) ；解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，在整個(gè)面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。（3），其中和為連續(xù)函數(shù)。解 令，則在整個(gè)面內(nèi)恒成立，因此，曲線積分在整個(gè)面內(nèi)與路徑無(wú)關(guān)。為了計(jì)算該曲線積分，取如右圖所示的積分路徑，則有 。3 驗(yàn)證下列在整個(gè)面內(nèi)為某一函數(shù)的全微分，并求出這樣的一個(gè)：（1）；解 令，∴ 原式在全平面上為某一函數(shù)的全微分，取，==（2）；解 因?yàn)椋栽谡麄€(gè)面內(nèi)恒成立，因此，：在整個(gè)面內(nèi)，是某一函數(shù)的全微分，即有。于是就有 （4） （5）由（4）式得
環(huán)評(píng)公示相關(guān)推薦
鄂ICP備17016276號(hào)-1