[理學]數(shù)學分析第六講曲線和曲面積分(編輯修改稿)
2024-09-17 15:41 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 銳角時, ,當小曲面塊正向與軸的正向成鈍角時, .,若極限存在，則稱此極限為函數(shù)沿有向曲面上的第二型曲面積分，記為.(2) 函數(shù)沿空間中有向曲面上的第二型曲面積分的計算利用二重積分計算.當空間曲面塊：，.則，其中當曲面塊的積分側(cè)向量與軸的正向成銳角時，等式右端取“+”，當曲面塊的積分側(cè)向量與軸的正向成鈍角時，等式右端取“”。當空間曲面塊：，.則,其中當曲面塊的積分側(cè)向量與軸的正向成銳角時，等式右端取“+”，當曲面塊的積分側(cè)向量與軸的正向成鈍角時，等式右端取“”。當空間曲面塊：，., 等式右端取“+”, 當曲面塊的積分側(cè)向量與軸的正向成鈍角時, 等式右端取“”. 式，中的可正可負，但式 ，中的均為正(原因是這些式子是二重積分).說明:①, 第二型曲面積分為正, 當與向曲面所指定的方向成鈍角時, 第二型曲面積分為負.②第二型曲面積分轉(zhuǎn)化成二重積分進行計算,轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵是確定二重積分前的正、負號.二、解證題方法(1) 一型曲面積分例1（山東科技大學2005年）計算第一型曲面積分,其中為平面在內(nèi)的部分.解 的函數(shù)為,定義域為..例2（山東科技大學2006年）計算第一型曲面積分,其中為螺旋面,在,的部分.解 由于,所以例3（清華大學2006年）證明對連續(xù)函數(shù)有.證明 令. 由于,所以.例4（中國地質(zhì)大學2005年）求下列積分,其中 解 記,則有,在面上的投影區(qū)域為:,由的方程知,所以.例5（華東師范大學2006年）求,其中.解 根據(jù)對稱性有,把分為上半球和下半球,所以.例6(北京化工大學2005年)求旋轉(zhuǎn)拋物面在圓柱體內(nèi)部的面積.解 .例7(中國地質(zhì)大學2006年)求的表面積.解 令為,為,.對于, 對于, 所以 .例8（西安交通大學2001年）求球面在圓柱體內(nèi)部的面積,其中.解 由于,于是利用對稱性知,其中是球面在圓柱體內(nèi)部的曲面的上半部分在面上的投影..練習[1] （北京工業(yè)大學2001年）計算曲面積分,其中是四面體,的表面.(答案:).[2] （電子科技大學2004年）設流速,求下列情形的流量.(1)穿過圓錐面的側(cè)表面,法向量朝外.(2) 穿過圓錐面的底面, 法向量朝外.(提示:,答案: (1)0,(2)).[3] （華中科技大學2006年）設是上的正值連續(xù)函數(shù),若,證明: 是上的嚴格遞增的連續(xù)函數(shù).[4] （北京師范大學2006年,選做）設在上有二階連續(xù)偏導數(shù),對任意的,記在上第一型曲面積分,其中表示中心,半徑為的球面,表示上的面積微元,證明:(1)。(2) 。(3) ,此處表示中的Laplace微分算子.(2) 二型曲面積分例1 (四川大學2004年)求,為的外側(cè).解 ,其中為面上的橢圓所圍成的區(qū)域. 利用變換,.167。一、知識結(jié)構(gòu)二型曲線積分與二重積分間的關(guān)系定理1(格林公式) 若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有.這里為區(qū)域的邊界曲線, 并取正方向（沿曲線走時，區(qū)域在你的左側(cè)）. 說明: 為區(qū)域的邊界曲線, 并取負方向(沿曲線走時，區(qū)域在你的右側(cè))時,有.定理2 ，在內(nèi)連續(xù)，且具有連續(xù)偏導數(shù)，則以下四個條件等價：(1)沿內(nèi)任意按段光滑封閉曲線，有；(2)沿內(nèi)任意按段光滑封閉曲線，曲線積分與路線無關(guān)，只與的起點及終點有關(guān)；(3) 是內(nèi)某一函數(shù)的全微分，即在內(nèi)有.(4)在內(nèi)等式處處成立.二型曲面積分與三重積分間的關(guān)系定理3（高斯公式） 若函數(shù)在閉區(qū)域上連續(xù)，且有連續(xù)的一階偏導數(shù)，則有這里為區(qū)域的邊界曲面,并
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