【文章內(nèi)容簡介】 [ , ] ,f b b??界 設 在 上的振幅為 則???.2)(2)( ???? ??????? mMmM,...: 110 ? ???????? ? bxxxaT n使 .2???Tii x?? ?則存在分割 [ , ]f a b ?由于 在 上連續(xù), ??[ , ]M m f a b其 中 與 分 別 為 在 上 的 上 確 界 與 下 確令 ,...: 10 bxxxaT n ????? 則 ? ?Tii x? ??? ????? ??Tii x.22 ??? ???[ , ] .f a b由 可 積 準 則 , 在 上 可 積例 2 證明黎曼函數(shù) 1, ( , ) ,()0 , 0, 1 ( 0, 1 )px p qqqRxx???? ?? ??互 素及 中 的 無 理 數(shù)[0 , 1]在 上可積 ,且 10 ( ) d 0 .R x x ??證 10 , [ 0 , 1 ] 2q ?? 在 中滿足? ? ?的有理數(shù) pr q?只有有限多個 ,設它們?yōu)? 12 [ 0 , 1 ]{ , , , } .kr r r 對作分割 01: 0 1 ,nT x x x? ? ? ? ?.2T k??使 12{ , , , }kT r r r中含 的小區(qū)間至多有 2k 個 ,記為 ? ?.i?? 因此這些小區(qū)間長度之和為 Δ ? ?? ? ? ??i?由于在 ?? 12{ , , , } { } .kiT r r r ?中不含 的區(qū)間記為 ??? ? ii x? ? ? ?????????? iiii xx ???? ??????? ii xx 221 ?.22 ??? ???0 ( ) ,2Rx ?上 于是?? .2?? ???i 從而 ( ) .Rx這 就 證 明 了 的 可 積 性( ) ,Rx由于已證得 可積 而且無理數(shù)具有稠密性,1[ , ] ( 1 , 2 , , )i i ix x i n?因此可取 皆為無理數(shù),???10 0 1( ) d l i m ( ) Δ 0.niiTiR x x R x?? ?????從而作業(yè) 習題 2 167。 4 定積分的性質(zhì) 一、定積分的性質(zhì) 本節(jié)將討論定積分的性質(zhì) ,包括定積分 的線性性質(zhì)、關于積分區(qū)間的可加性、積 分不等式與積分中值定理 , 這些性質(zhì)為定 積分研究和計算提供了新的工具 . 二、積分中值定理 [ , ] ( ) d ( ) d .bbaaa b k f x x k f x x在 上也可積，且 ???證 ( ) d .baJ f x x記 ? ? [ , ] ,f a b由 在 上可積 故一、定積分的性質(zhì) 10, 0, [ , ] ,i i iT x x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ?當 時, 對一切1() Δ .1niiif x Jk???????從而 性質(zhì) 1 k 為常數(shù) , 則 k f 若 f 在 [ a,b ] 上可積， 11() Δ () Δnni i i iiik f x k J k f x J????? ? ???因此 [ , ] ,k f a b在 可 積 .d)(d)( ?? ? baba xxfkxxkf且性質(zhì) 2 , [ , ] ,f g a b若 在 上可積 [ , ]f g a b則 在 上?可積 , 且 ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?證 12 ( ) d , ( ) d .bbaaJ f x x J g x x ?? ? ? ???記 于是 0 ,10, [ , ] , 1 , 2, , ,i i iT x x i n? ? ? ?? ? ? ? ? ?當 時，.1k k ? ????11() Δ ,2niiif x J ?????? 21() Δ .2niiig x J ??????從而 121[ ( ) ( ) ] Δ ()ni i iif g x J J???? ? ??1211() Δ () Δnni i i iiif x J g x J????? ? ? ???.22?? ?? ? ?因此， f 177。 g 在 [ a, b ] 上可積 , 且 性質(zhì) 3 , [ , ] [ , ]f g a b f g a b若 在 上 可 積 ， 則 在 上證 , [ , ] [ , ]f g a b a b因 在 上可積，故在 上都有界,0 , [ , ] , ( ) , ( ) .M x a b f x M g x M即 ? ? ? ? ? ?0, , Δ 。2fiiTTx M???存 在 分 割 使 又 存 在 分??? ? ??Δ .2giiTTx M??割 ， 使???? ??( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?.也可積TTT ?????令 ( T T T? ??表 示 把 與 的 所 有 分 割 點 合并而成的新分割 ), 則 ? ?su p ( ) ( ) ( ) ( ) , Δfgiif x g x f x g x x x? ? ? ?? ?? ? ??? ? ??su p ( ) ( ) ( )g x f x f x? ? ?????( ) ( ) ( ) , Δ if x g x g x x x?? ? ?? ? ??? ? ?.gifi MM ?? ??于是 ??? ??TigiTifiTifgi xMxMx ??? ????????????TigiTifi xMxM ??.22 ??? ??? MMMM[ , ] [ , ]f a c c b在 與 上都可積. 此時且有( ) d ( ) d ( ) db c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?0 , [ , ] [ , ] ,a c c b T T? ? ??? ? ? 與 上分割 與 使得因此 f g 在 [ a, b] 上可積 . 性質(zhì) 4 f 在 [a, b]上可積的充要條件是 : ),( bac ??證 (充分性 ) 若 f 在 [a, c] 與 [c, b] 上可積 ,則 .2,2 ???? ???????? ????? TiiTii xx ??, [ , ] ,T T T a b令 它是 的一個分割? ????.???? ????????? ?????? TiiTiiTii xxx ???(必要性 ) [ , ] , 0 , ,f a b T?? ? ?已知 在 上可積 則因此 , f 在 [a, b] 上可積 . Δ .iiTx??使 ?? 在 T上加入分點 c 得到新的分割 .T?由 167。 3習題第 1題 , 知道 Δ Δ .ii iiTTxx? ? ???? ????[ , ] [ , ] ,T a c c b分割 在 和 上的部分 分別構(gòu)成對?Δ Δ , Δ Δ .i i i i i i i iTTx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?, [ , ]c T a c T ?為 其 中 一 個 分 點 則 在 的 部 分 構(gòu) 成[ , ] [ , ] [ , ]a c c b T c b對 的分割, 在 的部分 構(gòu)成對 的 ??因此， f 在 [a, c] 與 [c, b]上都可積 . 若 f 在 [a, b] 上可積 ,由必要性證明 ,若分割 T 使點 [ , ] [ , ] ,a c c b T T和 的分割, 記為 和 則 ? ??() Δ () Δ () Δ ., i i i i i iT T Tf x f x f x? ? ?分 割 且? ??? ????? ? ?0 , 0 , 0 ,T T T令 則 即得? ??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 5 [ , ] , ( ) d a b f x x若 在 上 非 負 、 可 積 則 ??證 ( ) d aJ f x x若 ??? 0 , 0 , ,JT ??? ? ? ? ?對ab若規(guī)定 時 ?注 ( ) d ( ) d ,baf x x f x x????ab時?, , ,a b c則對 的任何大小順序 恒有( ) d 0,ba f x x ??因此 ,0)(1??????JJxfniii ??( ) 0 , Δ ? ??這 與 矛 盾推論 , [ , ] , ( ) ( ) ,f g a b f x g x x若 在 上可積 且 ??證 ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ,F x g x f x x a b? ? ? ?設 則() Δ .iiTf x J J? ? ? ?? ],[ 1 iii xx ??? ?,d)(d)(d)(0 ??? ??? bababa xxfxxgxxF( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???[ , ],ab 則 若 f 在 [a, b] 上可積 ,則 | f |在 [a, b] 上 也 性質(zhì) 6 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???證 [ , ] , 0,f a b ???因 為 在 上 可 積,T? 使 得. ( ) ( ) ( ) ( ) ,fiiTx f x f x f x f x? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? 由1su p { ( ) ( ) , [ , ] }fi i if x f x x x x x? ?? ?? ? ??? ? ?1su p { ( ) ( ) , [ , ] } .fi i if x f x x x x x ??? ?? ? ??? ? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???即 可積 ,且 Δ Δ , [ , ]f fi i i iTx x f a b? ? ?故 即 在 上 可 積 .????( ) ( ) ( ) ,f x f x f x且由于 得到? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,b b ba a af x x f x x f x x? ? ?? ? ?因此證得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???例 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ,f x g x a b f x g x?設 和 在 上 連 續(xù)0 0 0[ , ] , [ , ] , ( ) ( ) ,x a b x a b f x g x且存在 使 則? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???證 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨設? ? ? ?00( , ) [ , ] ,x x x a b??當時? ? ? ?001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x? ? ?由連續(xù)函數(shù)的局部保號性質(zhì) , 0,???0 ( , ) .x a b?由此推得 ?? [ ( ) ( ) ] dba g x f x x???? ? ? ???000[ ( ) ( ) ] d [ ( ) ( ) ] dxxaxg x f x x g x f x x?? ????? 0 [ ( ) ( ) ] dbx g x f x x??????00[ ( ) ( ) ] dxx g x f x x?? 00( ) ( ) 22g x f x ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???00[ ( ) ( ) ] 0 ,g x f x ?? ? ?即 ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x, [ , ]f g a b由 在 上可注 2 ( ) ( ) , [ , ] ,f x g x x a b??若積,可得注 1 ,fg例 1 中 條 件 與 的 連 續(xù) 性 可 減 弱 為 :[ , ] , ( ) ( ) , [ , ] ,f g a b f x g x x a b??和 在 上 可 積 且0 0 0[ , ] , ( ) ( ) ,f g x a b f x g x??存 在 和 的 連 續(xù) 點 使( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???則二、積分中值定理 定理 ( 積分第一中值定理 ) [ , ] , [ , ] ,f a b a