【正文】 ba f x xba? ? ? 矛 盾因此 11 ( ) d ( ) d , .bbaaf x x f x xb a b a或 矛 盾?????注 2 積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示 : ? xyO a b()f ?( ) [ , ]y f x a b圖中 在 上的曲邊梯形的面積, 等于?1( ) ( ) dbaf f x xba? ? ? ?定理 ( 推廣的積分第一中值定理） , [ , ] , ( ) [ , ]f g a b g x a b若 在 上 連 續(xù) 且 在 上 不 變 號(hào) ,? ? ???[ , ] , ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaa b f x g x x f g x x??則 使[ , ] , ( )a b f ?以 為 底 為 高 的 矩 形 面 積 .證 ( ) 0 , [ , ] . , ( )g x x a b m M f x不妨設(shè) 若 分別是??( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ] .m g x f x g x M g x x a b? ? ?0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d b ba a am g x x f x g x x M g x x? ? ? ?? ? ?[ , ] ,ab? ?此時(shí)可任取 使得( ) ( ) d 0 ( ) ( ) d .bbaaf x g x x f g x x?????( ) ,gx則 因 非 負(fù) 、 連 續(xù) 必 定 使 得( ) d 0,ba g x x若 ??[ , ]ab在 上 的 最 小 值 與 最 大 值 , 則( ) 0 , [ , ] ,g x x a b??( ) ( ) d.( ) dbabaf x g x xmMg x x????? ??( ) ( ) d( ) ,( ) dbabaf x g x xfg x x?( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaf x g x x f g x x?即 ???( ) d 0,ba g x x ??若則[ , ] ,ab? ?由 連 續(xù) 函 數(shù) 的 介 值 性 定 理 , 存 在 使 得例 2 比較積分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小 . 解 令 ,)( xexf x ?? ]0,2[??x,0)( ?xf? ,0)(0 2 ??? ?? dxxe xdxe x??? 02 ,02 dxx???于是 dxe x?? 20 .20 dxx???例 3 估計(jì)積分 dxx? ? ?0 3s i n31的值 . 解 ,si n3 1)( 3 xxf ?? ],0[ ??? x,1s i n0 3 ?? x ,31si n3 141 3 ??? x,31s i n3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???.3s i n3 14 0 3 ?????? ? ? dxx例 4 估計(jì)積分 dxxx???24s i n的值 . 解 ,si n)( x xxf ?2si nco s)(xxxxxf ???2)t a n(co sxxxx ??]2,4[ ???x,0?)( xf 在 ]2,4[ ?? 上單調(diào)下降 , 故 4??x 為極大點(diǎn)， 2??x 為極小點(diǎn) , ,22)4( ???? fM ,2)2( ???? fm,442 ??????? ab?,422si n42 24????????? ??? dxxx.2 2si n21 24??? ??? dxxx作業(yè) 習(xí)題 4 167。 ).()()(d)()2( aFbFxFxxf baba ????證 因 f 在 [a, b] 上一致連續(xù) , 則 0 , 0 ,??? ? ? ?, [ , ] , | | ,x x a b x x ?? ?? ? ??? ? ?當(dāng) 時(shí).|)()(| ?????? xfxf任取 又 F 在 1[ , ] , 1 , 2 , , .i i ix x i n? ??? ],[ 1 ii xx ?上滿足 拉格朗日中值定理?xiàng)l件 , ],[ 1 iii xx ??? ?,)()()()( 1 iiiiii xfxFxFxF ?? ?? ???? ?于是 1() Δ ( ( ) ( ) )niiif x F b F a?????, ( ) d ( ) ( ) ( ) .b baa f x x F b F a F x? ? ??因 此111() Δ ( ( ) ( ) )nni i i iiif x F x F x? ???? ? ???11() Δ () Δnni i i iiif x f x????????| ( ) ( ) | Δ Δ ( ) .nni i i if f x x b a? ? ? ?? ? ? ? ?注 1 以后將證明 , 若 f 在 [a, b]上連續(xù) , 則 f 在 [a, b] 注 2 條件 (i)不是必要條件 , 以后將舉例說(shuō)明 , 存在 例 2 na xx?求解 ).(111d 111????????? nnbanban abnnxxx上必有原函數(shù) F (x). 因此條件 (ii) 是 多余的 . 函 數(shù) f 在 [a, b] 上有間斷點(diǎn) , 但 f 在 [a, b]上仍可 積 . 例 3 .1d210 2? ? xx求解 1 12 200 2d π πar c si n 0 .661x xx? ? ? ???例 4 .d4202? ? xxx求解 .38)4(31d420232202 ?????? xxxx例 5 .111l i m1???? ?nin nni求解 111lim1nn i i nn?? ???易見(jiàn) 是函數(shù)1( ) [ 0 , 1 ]1fx x? 在11: 0 1 ,nnTnn?? ? ? ?上黎曼和的極限 .其中分割和介點(diǎn)分別為 1[ , ] , 1 , 2 , , .ii i i inn n n??? ? ?用牛頓 — 萊布尼茨公式還可以求一些和式的極限 . 因此 ?? ?????? ??120111 1 1 1l i m d ( d )11nn ixxi n x xn例 6 .)1()21)(11(lim1nn nnnn ?????? ??????求解 令 112l n ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nnnan n n??? ? ? ?????10l n ( 1 ) l n ? ? ?11 l n 1 ,niinn????10lim ln ( 1 ) dnn a x x?? ???因此 112li m ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) nnnn n n????? ? ?????則 10[ ( 1 ) ln ( 1 ) ( 1 ) ]x x x? ? ? ? ?2 ln 2 1 .??lime n na???2 ln 2 1 4e.e???例 7 求 .)1si nc o s2(20?? ?? dxxx原式 20[ 2 sin c o s ]x x x ?? ? ?.23 ???例 8 設(shè) , 求 . ????????215102)(xxxxf? 20 )( dxxf解 解 ? ?? ?? 10 2120 )()()( dxxfdxxfdxxf在 ]2,1[ 上規(guī)定當(dāng) 1?x 時(shí)， 5)( ?xf , ? ??? 10 21 52 dxxdx原式 .6? xyo 1 2例 9 求 .},m a x {2 2 2?? dxxx解 由圖形可知 },m ax {)( 2xxxf ?,21100222?????????????xxxxxx??? ???? ? 21 2100 2 2 dxxxdxdxx原式 .211?xyo2xy?xy?1 22?例 10 求 解 .112 dxx???當(dāng) 0?x 時(shí)， x1 的一個(gè)原函數(shù)是 ||ln x , dxx??? 12 112ln | |x???.2ln2ln1ln ????例 1 1 計(jì)算曲線 xy s i n? 在 ],0[ ? 上與 x 軸所圍 成的平面圖形的面積 . 解 面積 xyo ?? ?? 0 s i n xdxA0c o s x???.2?作業(yè) 習(xí)題 2 167。 3 可積條件 判別一個(gè)函數(shù) f (x) 在 [a, b]上是否可積 ,就是判別 的性質(zhì) （ 例如函數(shù)的有界性、連續(xù)性等 ） 來(lái)判別 ? ??0 1l i m ( )niiTifx??極限 是否存在 .在實(shí)際應(yīng)用中， 直接按定義來(lái)判定是困難的 .我們希望由函數(shù)本身 函數(shù)的可積性 .為此 ,先給出可積準(zhǔn)則 ,并以此證明 有界性是可積的必要條件而非充分條件 ,連續(xù)性是 可積的充分條件而非必要條件 . 定理 (可積必有界） 若函數(shù) 在 上可積，則 在 上必有界 . ff ],[ ba],[ ba證 設(shè) .d)( Jxxfba??由定義 , 對(duì) 1 0 0, , T , T? ? ?只要 無(wú)論? ? ? ? ?1Δ 1niiif ( ) x J ,?????于是 1[ , ] ( 1 , 2 , , ) ,i i ix x i n?與 如何選取 都有???? 1[ , ] . kkxx 上無(wú)界 令() Δ ,iiikG f x??? ?? ??? 1 ,k k kxx?故必存在 滿足1Δ 1niiif ( ) x J M .??? ? ??( ) .kkMGfx? ???( ) [ , ]f x a b倘若 在 上無(wú)界，,k則必有 ()fx使得 在于是 1() Δniiifx???矛盾 . 以下例子告訴我們 , 有界性并不是可積的充分條 件 . () Δ () Δk k i iikf x f x????? ?Δ ,kkMG x G Mx??? ? ?1Q [ , ] , 1 , 2 , , ,i i ix x i n? ?? ? ?現(xiàn) 任 取 則11() Δ Δ 1.nni i iiiD x x???????R , 0 ,J ?? ? ? ?證 若 D(x) 在 [a, b] 上可積 , 則 11() Δ .2niiiD x J?????(1 )Dx試用反證法證明: 狄利克雷函數(shù)例 在任何[ , ] .ab區(qū)間 上不可積,T ?當(dāng)時(shí)? ?? 1[ , ] ,i i ixx?對(duì)任何 有于是 11() Δ () Δ 1,nni i i iiiD x D x????????而這與 11() Δ () Δnni i i iiiD x D x???????1111() Δ () Δ 122nni i i iiiD x J D x J????? ? ? ? ? ? ???1[ , ] \ Q , 1 , 2 , , ,i i ix x i n?又 任 取 則???1() Δ 0.niiiDx????相矛盾 , 所以 [ , ]( ) .abDx 在 上不可積,...: 10 bxxxaT n ?????稱 為 f 關(guān)于分割 T 的 上和 ,其中 1() ΔniiiS T M x?? ?? ?1s u p ( ) | [ , ] , 1 , 2 , 。 5 微積分學(xué)基本定理 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 本節(jié)將介紹微積分學(xué)基本定理 , 并用以證明連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)的存在性 .在此基礎(chǔ)上又可導(dǎo)出定積分的換元積分法與分部積分法 . 三、泰勒公式的積分型余項(xiàng) 二、換元積分法與