【正文】 f x g x x x? ? ? ?? ?? ? ??? ? ??su p ( ) ( ) ( )g x f x f x? ? ?????( ) ( ) ( ) , Δ if x g x g x x x?? ? ?? ? ??? ? ?.gifi MM ?? ??于是 ??? ??TigiTifiTifgi xMxMx ??? ????????????TigiTifi xMxM ??.22 ??? ??? MMMM[ , ] [ , ]f a c c b在 與 上都可積. 此時(shí)且有( ) d ( ) d ( ) db c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?0 , [ , ] [ , ] ,a c c b T T? ? ??? ? ? 與 上分割 與 使得因此 f g 在 [ a, b] 上可積 . 性質(zhì) 4 f 在 [a, b]上可積的充要條件是 : ),( bac ??證 (充分性 ) 若 f 在 [a, c] 與 [c, b] 上可積 ,則 .2,2 ???? ???????? ????? TiiTii xx ??, [ , ] ,T T T a b令 它是 的一個(gè)分割? ????.???? ????????? ?????? TiiTiiTii xxx ???(必要性 ) [ , ] , 0 , ,f a b T?? ? ?已知 在 上可積 則因此 , f 在 [a, b] 上可積 . Δ .iiTx??使 ?? 在 T上加入分點(diǎn) c 得到新的分割 .T?由 167。i i iM f x x x x i n?? ? ?稱 為 f 關(guān)于分割 T 的 下和 ,其中 1() Δniiis T m x?? ?? ?1in f ( ) | [ , ] , 1 , 2 , 。 1 定積分的概念 在很多數(shù)學(xué)和物理問(wèn)題中，經(jīng)常需要 求一類特殊和式的極限 : 這類特殊極限問(wèn)題導(dǎo)出了定積分的概念 . ? ??0 1l i m ( ) ,Tniiifx? ?? ?( , ) | [ , ] , 0 ( ) .A x y x a b y f x? ? ? ?( ) , [ , ] ,y f x x a b??1. 設(shè) 求曲邊梯形 A 的面積 S (A), 其中 y x O ? ?xfy ?()SAa b實(shí)例 1 （求曲邊梯形的面積） 一分為二 y x O ? ?xfy ?()SAa b1x一分為四 y x O ? ?xfy ?a b1x 2x 3x()SA一分為八 y x O ? ?xfy ?a b81x?1x 3x()SA一分為 n 可以看出小矩形面積之和越來(lái)越接近于曲邊梯形 的面積 . y x O ? ?xfy ?a b1x ix1ix? 1nx?i?()SA過(guò)程呢？ 這可以分四步進(jìn)行 . 1. 分割： 把曲邊梯形 A 分成 n 個(gè)小曲邊梯形 , 21 nAAA ?a 1x 2x 1?nx b即在 上插入 個(gè)分點(diǎn) 1 2 1{ , , , } ,nx x x ?[ , ]ab 1n?1 2 1 ,na x x x b?? ? ? ? ?如何嚴(yán)格地定義這一越來(lái)越逼近曲邊梯形面積的 0 , nx a x b??為 方 便 起 見(jiàn) ， 記 ，? ? ? ?0 1 0, , , Δ , Δ .nnT x x x T用 或 = 來(lái) 記 這 個(gè) 分 割? ? ? ?11[ , ] , Δ , 1 , 2 , ,i i i i i ix x x x x i n? ，??? ? ? ?11[ , ] , [ , ] ( )i i i i ix x x x f x? 在 上 把 近 似 看 作 常 數(shù)???( ) ( ) Δ .i i i i if A S f x??. 此 時(shí) 的 面 積 約 為11( ) ( ) Δ .nni i iiiS A S f x???????2. 近似代替 : iA把 小 曲 邊 梯 形 近 似 看 作 矩 形 , 任 取1() Δ .niiifx?上 述 和 式 稱 為 積 分 和 或 黎 曼 和??3. 求和 : 4. 取極限： 不管分割多么細(xì)，小曲邊梯形終究不是 S 總有差別 . 當(dāng)分割越來(lái)越細(xì)時(shí)，和式 1() Δniiifx???問(wèn)題是： ( 1 ) 如 何 刻 畫 分 割 越 來(lái)越細(xì)？ 1( 2 ) ( ) Δ ?niiif x S?如 何 刻 畫 越 來(lái) 越 逼 近 于??就會(huì)越來(lái)越小 . S與 的 差 距下面依次討論這兩個(gè)問(wèn)題 . 1() Δniiifx??? 與曲邊梯形的面積 矩形，因此黎曼和 0 0 1( 1 ) : ,nT a x x x b? ? ? ? ?對(duì) 于 一 般 的 不 能來(lái)表示分割 T 越來(lái)越細(xì) ,因?yàn)榭赡苣承? n ??用? ?m ax Δ 1 , 2, , .iT x i n??1( 2 ) ( ) Δ ,niiif x S?要 刻 畫 能 無(wú) 限 逼 近 需 對(duì) 任 意??? 1[ , ]iixx區(qū) 間 要 保 證 每 個(gè) 區(qū) 間的長(zhǎng)度不趨于 0 . 1[ , ] 0 ,iix x T的 長(zhǎng) 度 趨 于 需 引 細(xì) 度入 分 的 :割 ( 模 )?0T則 當(dāng) 時(shí) ,?就能保證分割越來(lái)越細(xì) . ? ? 1m ax Δ , [ , ] ,i i i iT x x x??時(shí) 對(duì) 任 意 ?? ? ?都 有???1() Δ ,niiif x S??－0,? ?給定的 能夠找到 0,? 使 得 當(dāng)?? ?? ?0 1l i m ( ) Δ .niiTiS f x?即 實(shí)例 2 （求變速直線運(yùn)動(dòng)的路程） 設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng)，已知速度 )( tvv ? 是時(shí)間間隔 ],[21 TT上 t 的一個(gè)連續(xù)函數(shù)，且0)( ?tv ，求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程 . 思路 ：把整段時(shí)間分割成若干小段，每小段上速度看作不變，求出各小段的路程再相加，便得到路程的近似值，最后通過(guò)對(duì)時(shí)間的無(wú)限細(xì)分過(guò)程求得路程的精確值． （ 1）分割 212101 TtttttT nn ??????? ??1???? iii tttiii tvs ??? )(?部分路程值 某時(shí)刻的速度 （ 3）求和 iinitvs ?? ??)(1?（ 4）取極限 },m ax { 21 nttt ???? ??inii tvs ?? ???)(lim10??路程的精確值 （ 2）近似代替 定義 1 [ , ] R .f a b J設(shè) 是 定 義 在 上 的 函 數(shù) ， ?0 0 1:, nT a x x x b? ? ? ? ?0 0 ,??? ? ? ?若 ，對(duì) 任 意 分 割[ , ]f a b則 稱 在 上 可 積 ，并稱 J 為 f 在 [a,b]上的 ? ????1 , , 1 , 2 , , ,i i ix x i n?及任意 0 1( ) d l i m ( ) Δ .nba T iJ f x x f xii?? ?? ? ??定積分 ,記作 ? ?m a x iTx ??當(dāng) 時(shí) , 必 有??1( ) ,niiif x J???????,ab分 變 量 , 分 別 為 積 分 下 限 和 上 限 .f其 中 稱 為 被 積 函 數(shù) ,x 為 積[ , ]ab 為 積 分 區(qū) 間, ( )fx由 定 義 曲 邊 為 的 曲 邊 梯 形 的 面 積 為? ? ( ) d .baS f x x()vt速 度 質(zhì) 點(diǎn) 運(yùn) 動(dòng) 的 路 程 為? ? ( ) d .bas v t t0 1l i m ( ) ΔniiTiJ f x?表 達(dá) 式? ?? ?注 1 nT不 僅 與 和 有列極限，也不是函數(shù)極限 . 注 2 [ , ]ab并 非 每 個(gè) 函 數(shù) 在 上 都 可 積 . 在 近 似 過(guò) 程中 ,我們把小曲邊梯形近似看作矩形時(shí) ,顯然要求 12{ , , , }n? ? ?關(guān) , 還 與 有 關(guān) ,因此定積分既不是數(shù) 關(guān)于定積分定義，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： f (x)在每個(gè)小區(qū)間 [xi–1, xi] 上變化不大 , 這相當(dāng)于 要求 f (x) 有某種程度上的連續(xù)性 . 注 3 積分值僅與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)， ?ba dxxf )( ?? ba dttf )( ?? ba duuf )(注 4 定義中區(qū)間的分法和 i? 的取法是任意的 . 而與積分變量的字母無(wú)關(guān) .,0)( ?xf ? ?ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積 ,0)( ?xf ? ??ba Adxxf )( 曲邊梯形的面積的負(fù)值 1A2A3A4A三、定積分的幾何意義 積取負(fù)號(hào)．軸下方的面在軸上方的面積取正號(hào)；在數(shù)和．之間的各部分面積的代直線的圖形及兩條軸、函數(shù)它是介于xxbxaxxfx?? ,)(?? ??4321)( AAAAdxxfba? ?? ? ?用定義求定積分 1220 10d li m ΔniiTiS x x x?? ??? ??2( ) [ 0 1 ]f x x? 在 ， 上 連 續(xù) ， 故解 1 20 ?例 1 存在 . 為方便起見(jiàn) ,令 ,2,1,11210: ?? ??????? nnnnnT n? ? ? ?1 1ma x Δ 0,ni inT x nn＝??? ? ? ?,2,1,11 ninininii ???????? ?????取則 此時(shí)黎曼和的極限化為 nniSnin11 21???????? ??數(shù)列的極限 . nniS nin11l i m12?????????? ??? ???????ninin123 11lim? ? ? ? .316121l i m3 ?????? nnnnn于是 注 這里利用了連續(xù)函數(shù)的可積性 .因?yàn)榭煞e ,所 1 .iin???以可取特殊的分割 (等分 )和特殊的介點(diǎn) 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 觀察下列演示過(guò)程，注意當(dāng)分割加細(xì)時(shí)， 矩形面積和與曲邊梯形面積的關(guān)系． 小結(jié) １．定積分的實(shí)質(zhì) ：特殊和式的極限． ２．定積分的思想和方法： 分割 化整為零 求和 積零為整 取極限 精確值 —— 定積分 求近似以直（不變）代曲（變） 取極限 一 、 利用定積分的定義計(jì)算由拋物線 ,12 ?? xy 兩直線)(, abbxax ??? 及橫軸所圍成的圖形的面積 . 二 、 利用定積分的定義計(jì)算積分 ? baxdx ， )( ba ? . 練 習(xí) 題 一、 a b a b ? ? ? ) ( 3 1 3 3 . 二、 ) ( 2 1 2 2 a b ? . 練習(xí)題答案 作業(yè) 習(xí)題 2 顯然 ,按定義計(jì)算定積分非常困難 ,須尋找新的途徑計(jì)算定積分 .在本節(jié)中 ,介紹牛頓－萊布尼茨公式 ,從而建立定積分與不定積分之間的聯(lián)系 ,簡(jiǎn)化定積分的計(jì)算 . 167。 2 牛頓－萊布尼茨公式 若質(zhì)點(diǎn)以速度 v = v (t) 作