【正文】 的語言和工具，是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)，而且是一門博大精深的科學(xué)，更是一種先進(jìn)的文化，在人類認(rèn)識世界和改造世界的過程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 是否就是獲得一些數(shù)學(xué)知識，學(xué)得一大堆重要的數(shù)學(xué)概念、定理、公式和結(jié)論，懂得各種各樣的數(shù)學(xué)方法和手段？ 這種單純以學(xué)習(xí)知識為目的的觀點，將教育僅僅看成是知識的傳授，是很片面的，也是不可取的。這就像練武之人，單單學(xué)會了一些招式，而不懂得這些招式的意圖和來龍去脈，只知劍招，不知劍意，最多只能依樣畫葫蘆，是不可能真正得心應(yīng)手地加以運用的，更談不上達(dá)到融會貫通的境界了。這一點，特別體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育本身就是一種素質(zhì)教育。 1990年的 “ 蘭州會議 ” （全國高等理科教育工作會議），提出建設(shè) “ 規(guī)模適宜，布局合理，結(jié)構(gòu)優(yōu)化，加強(qiáng)基礎(chǔ)，重視應(yīng)用，分流培養(yǎng) ” 的理念，強(qiáng)調(diào)理科專業(yè)要向應(yīng)用性理科發(fā)展。 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 主要課程 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、運籌學(xué)、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)實驗、金融數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測與決策、多元統(tǒng)計分析、利息理論、保險精算、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、證券投資統(tǒng)計分析、國際金融學(xué)、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)等。 現(xiàn)在的 “ 信息與計算科學(xué)專業(yè) ” 由 信息科學(xué)、計算數(shù)學(xué)、運籌學(xué)與控制論 三個主干方向組成。在綜合大學(xué)成立計算數(shù)學(xué)專業(yè)的同時，部分理工科大學(xué)在 “ 應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) ” 下也開設(shè)計算數(shù)學(xué)專業(yè)方向。開辦近 50年來，為國家培養(yǎng)了大批優(yōu)秀人才。少部分學(xué)校在該專業(yè)方面有較強(qiáng)的師資力量。 1998年，教育部把原數(shù)學(xué)類中的計算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用軟件專業(yè)、信息科學(xué)和運籌學(xué)與控制論專業(yè)合并成立了新的 “ 信息與計算科學(xué)專業(yè) ” 。 信息與計算科學(xué)專業(yè) 主要課程 ： 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論、數(shù)理統(tǒng)計、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、偏微分方程、運籌學(xué)、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)實驗、數(shù)據(jù)庫原理與應(yīng)用、數(shù)值分析、多元統(tǒng)計分析、信息論基礎(chǔ)、離散數(shù)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)程序設(shè)計、計量經(jīng)濟(jì)學(xué)、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)、證券投資統(tǒng)計分析、國際金融學(xué)等。 為了解決微積分在理論上面臨的問題，許多著名數(shù)學(xué)家都投身于微積分理論基礎(chǔ)的研究。而后來人們又發(fā)現(xiàn)，極限理論的某些基本原理依賴于實數(shù)系的連續(xù)性。 、有界性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì) . 教學(xué)目標(biāo)： 167。自然數(shù)的這種離散性和運算的不完備性，促使人們?nèi)λM(jìn)行擴(kuò)充。 對于一個數(shù)集 K，若 K中至少有一個非零元素，且 K中任何兩個元素的加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運算后得到的數(shù)仍然屬于K，即 K關(guān)于四則運算封閉，則稱 K為一個數(shù)域。例如，若用 c來表示一個邊長為 1的正方形的對角線的長度，則 c就無法用有理數(shù)表示。前面指出，微積分的理論基礎(chǔ)是極限論，但在這種具有 “ 空隙 ” 的有理數(shù)系上實施極限運算，就會極為不便。這一歷史任務(wù) ,終于在 19世紀(jì)后半葉 ,由戴德金（ Dedekind）和康托爾（ Cantor）等人完成。我們稱 R中的這些無理分劃為無理數(shù)。nx x a a a a?? 則0 1 2R , . .nx x a a a a?? ? ?則.,2,1},9,2,1,0{,N0 ?? ??? naa n其中 2. 有限小數(shù) kaaaax ?210 .? ),0( ?ka其中 又可表示為 ?? 99)1(. 1210 ?? ? kk aaaaax. 9)1(. 1210 ?? ?? ? kk aaaaa一、實數(shù)的十進(jìn)制小數(shù)表示 若實數(shù)都用無限小數(shù)表示，則表達(dá)式是唯一的 . 即 : 若 ,. 210 ?? naaaax ?,. 210 ?? nbbbby ?.,2,1,0, ????? nbayx nn則 用無限小數(shù)表示實數(shù)，稱為 正規(guī)表示 . .742 ???如Q,??x x 可用循環(huán)十進(jìn)制小數(shù)表示， 3. Q { | , , Z , 0 }mx x m n nn? ? ? ?其中表示有理數(shù)集 . ,., 1210 pkkk aaaaaax ??? ????若反之0111 Q.10 10 1 10pkkjii p k j pijaaxa ?????? ? ? ????則, nmx ?若一般 ,. 1210 pkkk aaaaaax ??? ????則.np ?其中4. 無理數(shù)為無限不循環(huán)小數(shù) . ?: π 3 . 1 4 1 5 9 2 6 。 ) { | | | } :U a x x a a? ? ?? ? ? 點 的 鄰 域( 。 1 ,M M x M M? ? ? ? ? ?若 取 若[ ] 10 2 [ ] 1 ,Mx M M?? ? ? ?取 因此 S 無上界 . 證 ,2 LxSx n ????則 故 S 有下界 . 取 L = 1, { 2 | N } , .nSn ???證明數(shù)集 無上界 有下界例 1 例 2 2+31 N.2nSnn?????????證 明 數(shù) 集 有 界證 22+ 3 3 31 1 1 1N , 1 ,222 2 2nnnn n n?? ? ? ? ? ? ?.S因 此 有 界二、確界 :R. R, 滿足若設(shè) ??? ??SS定義 2 .s u p, SS ??? 記為的上確界是則稱。111,i)( ????? nxSx.,2110 00 ?? ????? xSx，則取若( ii) 1 .? ?設(shè)例 2 11 , 1 , 2, ,S x x nn??? ? ? ?????設(shè) 求 證.0i nf1s up ?? SS ，.1s up ?S因此，00 , 1 0 , , ,n? ? ?? ? ? ? ?若 則 令 由 阿 基 米 德 性000011 . 1 , 1 .x S xnn? ? ?? ? ? ? ? ? ?使 得 令 則.0i nf ?S因此.0i nf ?S再證00( ii ) 0 , 0 , .x S x??? ? ? ? ? ?。 , 1 .S x S x n x S x n則 設(shè)? ? ? ? ? ? ? ? ?1 1 0 1 2 0{ | . } .M a x n a a S? ? ?1 1 1{ 0 , 1 , 2 , , 9 } , m a x .M n M??由 于 因 此 有 令1 0 1 2{ | , . } ,S x x S x n n a?? ? ?1 1 1 1 0 1, , . 。 sup A? y. 這樣 , sup A 又是 B 的一個下界 , 而 inf B 是最大的下界 , 因此 sup A ?inf B. 證 ,)i( aSax ???? ,Sx ?其中 必有 ,s up Sx ?于是 .s up aSax ???,0 0 Sx ???? ?對于 使 ,s up0 ??? Sx 而 ,0 aSax ???且 ,)( s up0 ????? aSax因此 .s up)s up ( aSaS ???,)ii( bSbx ?? 其中 ,Sx? 必有 ,s up Sx ? 于是 .s up Sbbx ?0 , 0 ,b??? ?? ? ? ?令則存在 ,0 Sx ? 使 0 s u p ,xS ? ???因此 0 s u p s u p ,b x b S b b S???? ? ? ?.s up}s up { SbbS ?四、非正常確界 。函數(shù)的思想，就是運用函數(shù)的方法，必要時引入輔助函數(shù)，將常量視為變量、化靜為動、化離散為連續(xù)，將所討論的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題加以解決的一種思想方法。笛卡兒在1637年出版的 《 幾何學(xué) 》 中，第一次涉及到變量，他稱為 “ 未知和未定的量 ” ，同時也引入了函數(shù)的思想。 一般公認(rèn)最早給出函數(shù)定義的是德國數(shù)學(xué)家萊布尼茲，他在 1673年的一篇手稿中 ,把任何一個隨著曲線上的點變動而變動的幾何量，如切線、法線、點的縱坐標(biāo)都稱為函數(shù)；并且強(qiáng)調(diào)這條曲線是由一個方程式給出的。 一、函數(shù)的定義 :,f D M?}),({)( DxxfyyDf ???稱為 f 的值域 。方程的根可視為對應(yīng)函數(shù)在某種特定狀態(tài)下的值。數(shù)列和函數(shù)相比，前者離散，后者連續(xù)。()0 , 0, 1 ( 0, 1 ) \ .ppx p qqq qRxx x Q當(dāng) 既 約 真 分 數(shù)或????? ?? ???例 3 黎曼函數(shù) O 1 xy黎曼 ( Riemann,B. 1826－ 1866,德國 ) 1 2 3 4 5 2 4 4 3 2 1 4 3 2 1 1 3 x y o 階梯曲線 例 “ y 是 x的最大整數(shù)部分”確定了一個函數(shù) y=[x], 稱為 取整函數(shù) . Rx?, [ ] ( ) , [ ] ,( ) , 0 ( ) 1.x R x x xxxx? ? ? ???注 意 :其 中 是 一 整 數(shù)是 一 個 非 負(fù) 小 數(shù))(,3][)27(,3]27[???????取最值函數(shù) )}(),(m ax { xgxfy ? )}(),(m i n { xgxfy ?y x o )(xf)(xgy x o )(xf)(xgsi n 1 0 , 1 si n .x x y y x x? ? ? ? ?方 程 得 函數(shù)有時可由方程確定 . 如 ( , ) 0 , .F x y ?凡 能 由 方 程 確 定 的 函 數(shù) 關(guān) 系 稱 為 隱 函 數(shù)二、函數(shù)的四則運算 ., gf DgDf 的定義域為函數(shù)的定義域為設(shè)函數(shù)1 . ,f g f gf g D D D???的定義域為, ( ) ( ) ( ) ( ) .fgx D D f g x f x g x? ? ? ? ?且2 . ,f g f gf g D D D???的定義域為, ( ) ( ) ( ) ( ) .fgx D D f g x f x g x? ? ? ? ?且*3. ,fg ff D D Dg ?的 定 義 域 為* {, gD x x D??其中( ) 0 } ,gx ?且 .)()()(,xgxfxDxgfgf ?????????三、復(fù)合函數(shù) ,fgf D g D設(shè) 函 數(shù) 的 定 義 域 為 函 數(shù) 的 定 義 域 為fg復(fù) 合 函 數(shù) 的 定 義 域 為{ , ( ) } ,f g g fD x x D g x D? ? ?且 則, ( ) ( ( ) ) .fgx D f g x f g x? ? ?21 , Rxx? ? ? 的 復(fù) 合 函 數(shù) 為,1))(( 2xxgfy ???例 4 ? ?( ) , 0, ( )f u u u g x? ? ? ?函 數(shù) 與 函 數(shù)].1,1[ ??gfD ?其中21 1( ) ( ) a r c s in ( ln ) , [ e , e] 。g f h x x D ???2 5( ) ( ) ln ( a r c s in ) , [ 1 , 0 ) ( 0 , 1 ] 。()1( 為常數(shù)常量函數(shù) ccy ?( 2 ) ( ) 。c ot,t an xyxy ??五、初等函數(shù) ,ar c c os,ar c s i n)6( xyxy ??反三角函數(shù)