【正文】 22+ RRnnyx 在 上 嚴 格 增 , 在 上 嚴 格 減 .??1 1 +Rnny y y? ?上 為 正 值 嚴 格 增 , 可 知 在 上 亦 正 值+R在 上 亦 正 值 嚴 格 增 .由歸納法 ,若已證 +Rny 在嚴 格 增 .1 2 2 10 , 0 ,x x x x? ? ? ? ? ?若 則 于 是2 2 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,n n n nx x x x??? ? ? ? ? ?2 2 2 1 2 12 1 2 1 2,Rn n n n nx x x x y即 . 這 就 證 明 了 在 ?????21 Rny上 嚴 格 減 , 而 在 上 嚴 格 增 .??1 2 1 20 0 ,x x x x? ? ? ?若 或 則2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 200n n n nx x x x? ? ? ?? ? ? ?或 ，21 Rny ?這 證 明 了 在 上 嚴 格 增 .[ ] R ,yx?易 證 函 數(shù) 在 上 是 增 函 數(shù) 但 非 嚴 格例 5 增 . xyO111?1? 222?2? 3 43上也是嚴格在其定義域且有反函數(shù) )(, 11 Dfff ??.增函數(shù)( ) , ,y f x x D f??設(shè) 為 嚴 格 增 函 數(shù) 則 必定理 11, f f f??類 似 地 嚴 格 減 函 數(shù) 必 有 反 函 數(shù) 且 在 其.定 義 域 上 也 是 嚴 格 減 函 數(shù), ( ) .x D f x y??使, ( )f D y f D設(shè) 在 上 嚴 格 增 則 ??證 只有一個 1 2 1 2, ( ) ( ) ,x x f x y f x? ? ? ?事實上, 若 使f則 與1.: f ?的 嚴 格 增 性 質(zhì) 相 矛 盾 再 證 必 是 嚴 格 增 的,),(, 2121 yyDfyy ???1 2 1 2,y y f x x??由 于 及 的 嚴 格 增 性 必 有 即111 1 2 2( ) , ( ) ,x f y x f y????1 1 112( ) ( ) , .f y f y f? ? ?? 因 此 也 是 嚴 格 增 函 數(shù)ny因 此 的 反 函 +Rnnyx ?由 于 在 上 嚴 格 增 ,例 6 +,Rrnr y xm?? 在 上 亦 為 嚴 格 增 .1/ +Rnnzx ?數(shù) 在 上 嚴 格 增 ,故 對 任 意 有 理 數(shù)0 1 , R .a?? 時 在 上 嚴 格 減1 2 1 1 2 2, , ,r r Q x r r x? ? ? ? ?使 因 此1 1 21s u p { , }x r rra a r Q r x a a? ? ? ? ?22s u p { , } .xra r Q r x a? ? ? ?1 , Rxy a a??證 明 ： 當 時 在 上 嚴 格 增 。s i n hc o s hc o s hs i n h)s i n h ( yxyxyx ???。h f g x x D? ? ? ?, 1 , , 6 .kDk ?其 中 是 相 應 復 合 函 數(shù) 的 定 義 域2( ) 。從函數(shù)的觀點出發(fā)，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)問題，是求數(shù)列問題的一種有效方法。 D 稱為 f 的定義域 。英國數(shù)學家格雷果里在1667年給出的函數(shù)的定義，被認為是函數(shù)解析定義的開始。R,)i(.1 ???????? aa規(guī)定s u p N , in f { 2 | N } .n n ?? ?? ? ? ? ??例 12. 推廣的確界原理 : 非空數(shù)集必有上、下確界 . .s u p,)ii( ???SS 記無上界若.i n f, ???SS 記無下界若作業(yè) 習題 4 167。011,)i( ????? nxSx雖然我們定義了上確界 , 但并沒有證明上確界的 存在性 , 這是由于上界集是無限集 , 而無限數(shù)集 不一定有最小值 , 例如 (0, ?) 無最小值 . 三、確界存在性定理 證法一 設(shè) S 是有上界的非空集合 .為敘述方便起 見 ,不妨設(shè) S 含有非負數(shù) . }.0,|{ ???? xSxxS記0 1 2, . .x S x b b b x?? ? ? 是 的 正 規(guī) 的 小 數(shù) 表 示R , . , 。 ) { | 0 | | } :U a x x a a? ? ?? ? ? ? 點 的 空 心 鄰 域( 。 有理數(shù)系有稠密性，但沒有連續(xù)性，即有理數(shù)之間有許多 “ 空隙 ” 。因此 ,正如四則運算需要一個封閉的數(shù)域一樣，極限運算也需要一個關(guān)于極限封閉的數(shù)域。 容易看出，有理數(shù)集就是一個數(shù)域。 1 實數(shù) 數(shù)學分析研究的是實數(shù)集上定義的函數(shù) ,因此我們首先要掌握實數(shù)的基本概念與性質(zhì) . 人類所認識的第一個數(shù)系就是自然數(shù)系 ,它的定義為 {0,1,2,… }.雖然自然數(shù)對于計數(shù)來說是夠用了，但是自然數(shù)系并不是一個完善的數(shù)系。人們后來發(fā)現(xiàn)，微積分的主要理論基礎(chǔ)是嚴格的極限理論。這對國內(nèi)信息科學的人才培養(yǎng)與研究起到了巨大的推動作用。特別是我國的許多計算機科學家如王選等都畢業(yè)于這一專業(yè)。 “計算數(shù)學 ” 是本專業(yè)中有最長歷史的學科。同時設(shè)立 “ 國家理科基地 ” ；成立國家教育部數(shù)學與力學教學指導委員會。 通過學習數(shù)學，對數(shù)學這個學科有一個正確的認識和理解，對數(shù)學有一種仰慕和敬重，有一種向往和熱愛，有一種親和力。 數(shù)學分析 華東師范大學 數(shù)學系 從小學到中學，從中學到大學，從大學到研究生階段，人們一直都在學習數(shù)學。如果覺得數(shù)學紙上談兵、毫無用處，覺得數(shù)學高不可攀、難以理解，覺得數(shù)學枯燥無味，甚至面目可憎，對其敬而遠之、退避三舍，這樣的數(shù)學教與學，無疑是徹底失敗了。 1998年教育部調(diào)整專業(yè)，將原來的八個專業(yè)合并為 數(shù)學與應用數(shù)學專業(yè) 、 信息與計算科學專業(yè) ，以及 統(tǒng)計學專業(yè) 。 1955年，北京大學等學校開始在數(shù)學系設(shè)立 “ 計算數(shù)學專業(yè) ” ，并招收研究生。 “運籌學與控制論 ”對現(xiàn)代科學技術(shù)和現(xiàn)代工業(yè)的作用是不言而喻的。 信息與計算科學專業(yè) 培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展，具有良好的數(shù)學素養(yǎng)，掌握信息科學和計算科學的基本理論與方法，掌握一定的經(jīng)濟理論知識，受到科學研究的初步訓練，能利用計算機解決實際問題的高級專業(yè)人才。到了 19世紀初，柯西以極限理論為微積分奠定了理論基礎(chǔ)。 首先作為量的描述手段，它只能表示一個單位量的整數(shù)倍，而無法去表示此單位量的部分。從代數(shù)上來講，有理數(shù)系已經(jīng)是一個完美的數(shù)系，它可以在任何精度要求下對一個量進行表示和實施有效的運算，并且任何兩個有理數(shù)之間必有有理數(shù)存在（或說有理數(shù)有稠密性）。這就需要將有理數(shù)進行擴充，使其能夠填補有理數(shù)在數(shù)軸上留下的所有這些 “ 空隙 ” 。戴德金分割定理（對 R的任一分劃（ A|B）， B中必有最小數(shù)）告訴我們，在有理數(shù)集合中加入無理數(shù)之后 ,就沒有 “ 空隙 ” 了，也就是說實數(shù)系具有了連續(xù)性。 ) { | 0 } :U a x x a a? ? ?? ? ? ? ? 點 的 右 鄰 域( 。S S S S? ? ?設(shè) 若 有 上 界 則 必 有 上 確 界定理 (確界原理 ) ,.SS若 有 下 界 則 必 有 下 確 界? ? ?R , s u p .S??下 面 證 明 使證明分以下四步 : ?? ? ?0 1 0 1 21 . { . | . } ,n n nS b b b x b b b S S令 則 有 最, 1 , 2 , .nxn ?大 值02 . N , { 0 , 1 , , 9 } , 1 , 2 , ,ia a i?? ? ? ? 使.,2,1,., 10 ?? ??? naaaxn nn0 1 23 . . , .a a a???令 則 是 正 規(guī) 小 數(shù) 表 示.s S?? 是有上界的集合 ,從而 S+ 也是有上界的集合 , 0 1 2 0N , , . ,k x S x b b b b因 此 使 若 至 多??? ? ? ? ?{ 0 , 1 , 2 , , } ,k可 取 { 0 , 1 , 2 , , 9 } ,ib 至 多 可 取 因 此( 1 ) 1 0 , ,nnnS k x?至 多 有 個 數(shù) 從 而 必 有 最 大 值.,2,1 ??n012 . . ,n n nx a a a S?若 是 最 大 值 則0 1 2 0 1 0 1. , . . ,nnx b b b S b b b a a a?? ? ? ?,.. 110110 ?? ? nn aaabbb ??因此1 0 1 1 1..n n nx a a a S? ? ??從 而 是 中 最 大 值01{ | 0 , 1 , } . , 1 , 2 , .i n na i x a a a n? ? ? ?因 此 使0 1 23 . . .a a a? ?令0 1 1, . ,nnn x a a a b S x??? ? ? ? 由 于 由 正 規(guī) 小 數(shù), 0 , 0 .nkkb ???表 示 必 有 使 由 于,.. 110110 knnnknnnkn bbaaaaaaaax ????? ?? ????1 2 0 1 2, , 0 , .n n n ka a a a a a?? ? ? ?因 此 不 全 為 即是正規(guī)小數(shù)表示 . .s u S??,.)1( 210 Sbbbx ??? ?0 , 。 3 函數(shù)概念 一、函數(shù)的定義 二、函數(shù)的四則運算 三、復合函數(shù) 四、反函數(shù) 五、初等函數(shù) “用函數(shù)來思考 ” 是大數(shù)學家克萊因領(lǐng)導的數(shù)學教育改革運動的口號。他在 “ 論圓和雙曲線的求積 ”中指出：從一些其他量經(jīng)過一系列代數(shù)運算或任何其他可以想象的運算而得到的一個量。 定義 1 D與 M是 R中非空數(shù)集 ,若有對 應法則 f , 使 D內(nèi)每一個數(shù) x , 都有惟一的一個數(shù) y?M 與它相 對應 ,則稱 f 是定義 在 D上的函數(shù) ,記作 },)(),({ DxxfyyxG ??? 稱為 f 的圖象 . 注 1 函數(shù)由定義域 D 和對應法則 f 二要素 完全 決定，因此若給出函數(shù)的定 義域和對應法則 , 也 就確定了函數(shù) . 它與自變量與因變量的符號無關(guān) . 注 2 表示函數(shù)有多種方法，常見的有解析法、列 表法和圖象法 .解析法表示函數(shù)時 ,若沒有特別指 明其定義域 ,則一般約定其定義域為使該解析式 有意義的自變量的全體 (即存在域 ). 以函數(shù)為橋梁，實現(xiàn)函數(shù)與方程、不等式間的轉(zhuǎn)化。 函數(shù)的相等與不等 ).()(,)(。 ( ) a r c s in 。s i n hs i n hc o s hc o s h)c o s h ( yxyxyx ???。 當例 7 1 2 1 21 . , , .a x x x x Q? ? ?設(shè) 由 的 稠 密 性 ,證 0 1 , R .xaa ??類 似 可 證 當 時 在 上 嚴 格 減lo g ,xay x y a??由 于 是 的 反 函 數(shù) 因 此lo g ayx? +0 1 , R .a??當 時 在 上 嚴 格 減+lo g 1 Ray x a?? 當 時 , 在 上 嚴 格 增 。?12( ) ( ) , .f x f x f特 別 有 時 稱 為 嚴 格 減 函 數(shù).上的函數(shù)是定義在設(shè) Df定義 2 )(xfy ?)( 1xf)( 2xfx y o X)(