【正文】 數(shù)學(xué)分析 華東師范大學(xué) 數(shù)學(xué)系 從小學(xué)到中學(xué)，從中學(xué)到大學(xué)，從大學(xué)到研究生階段，人們一直都在學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。那么，為什么要學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，或者說(shuō)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的目的性究竟何在呢？ 數(shù)學(xué)不僅是一種科學(xué)的語(yǔ)言和工具，是眾多科學(xué)與技術(shù)必備的基礎(chǔ)，而且是一門博大精深的科學(xué)，更是一種先進(jìn)的文化，在人類認(rèn)識(shí)世界和改造世界的過程中一直發(fā)揮著重要的作用與影響。 學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)， 是否就是獲得一些數(shù)學(xué)知識(shí)，學(xué)得一大堆重要的數(shù)學(xué)概念、定理、公式和結(jié)論，懂得各種各樣的數(shù)學(xué)方法和手段？ 這種單純以學(xué)習(xí)知識(shí)為目的的觀點(diǎn)，將教育僅僅看成是知識(shí)的傳授，是很片面的，也是不可取的。 如果將數(shù)學(xué)教學(xué)僅僅看成是知識(shí)的傳授（特別是那種照本宣科式的傳授），那么即使包羅了再多的定理和公式，可能仍免不了淪為一堆僵死的教條，難以發(fā)揮作用；而掌握了數(shù)學(xué)的思想方法和精神實(shí)質(zhì)，就可以由不多的幾個(gè)公式演繹出千變?nèi)f化的生動(dòng)結(jié)論 ,顯示出無(wú)窮無(wú)盡的威力。 在工作中真正需要用到的具體數(shù)學(xué)分支學(xué)科，具體的數(shù)學(xué)定理、公式和結(jié)論，其實(shí)并不很多，學(xué)校里學(xué)過的一大堆數(shù)學(xué)知識(shí)很多都似乎沒有派上什么用處，有的甚至已經(jīng)淡忘，但所受的數(shù)學(xué)訓(xùn)練，所領(lǐng)會(huì)的數(shù)學(xué)思想和精神，所積累的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，卻無(wú)時(shí)無(wú)刻不在發(fā)揮著積極的作用，成為取得成功的最重要的因素。 僅僅將數(shù)學(xué)作為知識(shí)來(lái)學(xué)習(xí)，而忽略了數(shù)學(xué)思想對(duì)學(xué)生的熏陶以及學(xué)生數(shù)學(xué)素質(zhì)的提高，忽略了數(shù)學(xué)作為一種先進(jìn)的文化所起的特殊而重要的作用，就失去了數(shù)學(xué)課程最本質(zhì)的特點(diǎn)和要求，失去了開設(shè)數(shù)學(xué)課程的意義。這就像練武之人，單單學(xué)會(huì)了一些招式，而不懂得這些招式的意圖和來(lái)龍去脈，只知?jiǎng)φ?，不知?jiǎng)σ猓疃嘀荒芤罉赢嫼J，是不可能真正得心應(yīng)手地加以運(yùn)用的，更談不上達(dá)到融會(huì)貫通的境界了。 通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，對(duì)數(shù)學(xué)這個(gè)學(xué)科有一個(gè)正確的認(rèn)識(shí)和理解，對(duì)數(shù)學(xué)有一種仰慕和敬重，有一種向往和熱愛，有一種親和力。如果覺得數(shù)學(xué)紙上談兵、毫無(wú)用處，覺得數(shù)學(xué)高不可攀、難以理解，覺得數(shù)學(xué)枯燥無(wú)味，甚至面目可憎，對(duì)其敬而遠(yuǎn)之、退避三舍，這樣的數(shù)學(xué)教與學(xué)，無(wú)疑是徹底失敗了。 通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，特別是通過數(shù)學(xué)嚴(yán)格的訓(xùn)練，能逐步領(lǐng)會(huì)到數(shù)學(xué)的精神實(shí)質(zhì)和思想方法 ,在潛移默化中積累起一些優(yōu)良的素質(zhì)，造就自己的數(shù)學(xué)教養(yǎng)，不僅變得更加聰明起來(lái)，而且對(duì)今后一生的發(fā)展都會(huì)起著重要的積極作用。這一點(diǎn)，特別體現(xiàn)了數(shù)學(xué)教育本身就是一種素質(zhì)教育。忽略了這一點(diǎn)，就失去了數(shù)學(xué)教育的靈魂。 通過學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不僅積累數(shù)學(xué)的知識(shí)和方法，掌握必要的工具和技巧，而且提高將數(shù)學(xué)有效地用于解決現(xiàn)實(shí)世界中種種實(shí)際問題的自覺性和主動(dòng)性，并具備一定的能力，今后能夠和他人合作或想到和他人合作，運(yùn)用數(shù)學(xué)思想和工具來(lái)解決自己在工作中碰到的一些關(guān)鍵問題。在這方面，要求在一定的程度上熟練掌握關(guān)鍵的數(shù)學(xué)知識(shí)和方法，也要求用數(shù)學(xué)來(lái)解決實(shí)際問題的意識(shí)和能力，并要求將二者結(jié)合起來(lái)。 1990年的 “ 蘭州會(huì)議 ” （全國(guó)高等理科教育工作會(huì)議），提出建設(shè) “ 規(guī)模適宜，布局合理，結(jié)構(gòu)優(yōu)化，加強(qiáng)基礎(chǔ)，重視應(yīng)用，分流培養(yǎng) ” 的理念，強(qiáng)調(diào)理科專業(yè)要向應(yīng)用性理科發(fā)展。同時(shí)設(shè)立 “ 國(guó)家理科基地 ” ；成立國(guó)家教育部數(shù)學(xué)與力學(xué)教學(xué)指導(dǎo)委員會(huì)。 1998年教育部調(diào)整專業(yè)，將原來(lái)的八個(gè)專業(yè)合并為 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 、 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) ，以及 統(tǒng)計(jì)學(xué)專業(yè) 。 (兩個(gè)半 ) 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 通過講授數(shù)學(xué)科學(xué)的基本理論、基本方法、數(shù)學(xué)試驗(yàn)的實(shí)際操作技能以及其他相關(guān)的經(jīng)濟(jì)、金融、計(jì)算機(jī)類學(xué)科內(nèi)容，使其掌握應(yīng)用數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)、金融學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí)以及使用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的能力，將其培養(yǎng)成為能在科技、教育和經(jīng)濟(jì)部門從事研究教學(xué)工作或在生產(chǎn)經(jīng)營(yíng)及管理部門從事實(shí)際應(yīng)用開發(fā)研究和管理工作的應(yīng)用型人才，并為高層次教育輸送人才。 數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) 主要課程 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、金融數(shù)學(xué)、經(jīng)濟(jì)預(yù)測(cè)與決策、多元統(tǒng)計(jì)分析、利息理論、保險(xiǎn)精算、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、證券投資統(tǒng)計(jì)分析、國(guó)際金融學(xué)、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)等。 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 2020年， “ 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) ” 的專業(yè)點(diǎn)達(dá)到 366個(gè)，招生 25000人。居高校理科專業(yè)點(diǎn)的第一位。 2020年， “ 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) ” 的專業(yè)點(diǎn)達(dá)到 482個(gè)， “ 遍地開花 ” 。 現(xiàn)在的 “ 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) ” 由 信息科學(xué)、計(jì)算數(shù)學(xué)、運(yùn)籌學(xué)與控制論 三個(gè)主干方向組成。 “計(jì)算數(shù)學(xué) ” 是本專業(yè)中有最長(zhǎng)歷史的學(xué)科。 1955年，北京大學(xué)等學(xué)校開始在數(shù)學(xué)系設(shè)立 “ 計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè) ” ，并招收研究生。1958年后愈來(lái)愈多的綜合性大學(xué)相繼開設(shè)了“ 計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè) ” 。在綜合大學(xué)成立計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的同時(shí)，部分理工科大學(xué)在 “ 應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè) ” 下也開設(shè)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)方向。 20世紀(jì) 70年代，國(guó)內(nèi)僅有少量電子計(jì)算機(jī)，所以開辦計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)的大學(xué)并不多。但到 80年代，隨著計(jì)算機(jī)的逐漸普及和對(duì)計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)畢業(yè)生需求的急劇增加，許多大學(xué)都開始興辦計(jì)算數(shù)學(xué)專業(yè)。應(yīng)用數(shù)學(xué) (含計(jì)算數(shù)學(xué) )專業(yè)一時(shí)間成為高等學(xué)校中最大專業(yè)之一。開辦近 50年來(lái)，為國(guó)家培養(yǎng)了大批優(yōu)秀人才。特別是我國(guó)的許多計(jì)算機(jī)科學(xué)家如王選等都畢業(yè)于這一專業(yè)。 “運(yùn)籌學(xué)與控制論 ”對(duì)現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)和現(xiàn)代工業(yè)的作用是不言而喻的。但國(guó)內(nèi)開設(shè)運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)的學(xué)校并不多。少部分學(xué)校在該專業(yè)方面有較強(qiáng)的師資力量。 “信息科學(xué) ” 是 20世紀(jì) 80年代新發(fā)展起來(lái)的方向。國(guó)內(nèi)能開辦這個(gè)專業(yè)方向的學(xué)校較少或較弱。當(dāng)時(shí)的國(guó)內(nèi)數(shù)學(xué)系里，能夠開辦信息科學(xué)專業(yè)的學(xué)校為數(shù)不多，很多學(xué)校還沒有形成力量雄厚的教學(xué)與科研隊(duì)伍。 1998年，教育部把原數(shù)學(xué)類中的計(jì)算數(shù)學(xué)及其應(yīng)用軟件專業(yè)、信息科學(xué)和運(yùn)籌學(xué)與控制論專業(yè)合并成立了新的 “ 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) ” 。這對(duì)國(guó)內(nèi)信息科學(xué)的人才培養(yǎng)與研究起到了巨大的推動(dòng)作用。 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 培養(yǎng)德智體美全面發(fā)展，具有良好的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，掌握信息科學(xué)和計(jì)算科學(xué)的基本理論與方法，掌握一定的經(jīng)濟(jì)理論知識(shí)，受到科學(xué)研究的初步訓(xùn)練，能利用計(jì)算機(jī)解決實(shí)際問題的高級(jí)專業(yè)人才。能適應(yīng)在科研部門、企事業(yè)單位、學(xué)校、經(jīng)濟(jì)管理部門從事科研、教學(xué)與應(yīng)用軟件開發(fā)及管理工作等社會(huì)需要的應(yīng)用型人才，并為更高層次的研究生教育輸送優(yōu)秀人才。 信息與計(jì)算科學(xué)專業(yè) 主要課程 ： 數(shù)學(xué)分析、高等代數(shù)、解析幾何、概率論、數(shù)理統(tǒng)計(jì)、常微分方程、復(fù)變函數(shù)、偏微分方程、運(yùn)籌學(xué)、數(shù)學(xué)模型、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)、數(shù)據(jù)庫(kù)原理與應(yīng)用、數(shù)值分析、多元統(tǒng)計(jì)分析、信息論基礎(chǔ)、離散數(shù)學(xué)、網(wǎng)絡(luò)程序設(shè)計(jì)、計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)、西方經(jīng)濟(jì)學(xué)、證券投資統(tǒng)計(jì)分析、國(guó)際金融學(xué)等。 變量 數(shù)學(xué)分析 數(shù)學(xué)分析 函數(shù) 極限方法 極限論 微分學(xué) 積分學(xué) 級(jí)數(shù)論 （單變量和多變量） 工具 基礎(chǔ) 中心 對(duì)象 對(duì)象 變動(dòng)觀點(diǎn) 關(guān)系 Chapt 1 實(shí)數(shù)集與函數(shù) 在近幾個(gè)世紀(jì)中科學(xué)技術(shù)之所以取得了輝煌的成就，在很大程度上是因?yàn)閿?shù)學(xué)研究取得了重大進(jìn)展，其中微積分的創(chuàng)立是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的里程碑。微積分在物理、天文、技術(shù)、化學(xué)、生物等的研究中顯示了強(qiáng)大的威力，解決了許多過去認(rèn)為高不可攀的困難問題，促進(jìn)了科學(xué)技術(shù)的發(fā)展。然而，由于在創(chuàng)建初期微積分是以幾何直觀和物理直覺為依據(jù)而進(jìn)行演繹推理的，因此就形成了方法上有效但邏輯上不能自圓其說(shuō)的矛盾局面。 為了解決微積分在理論上面臨的問題，許多著名數(shù)學(xué)家都投身于微積分理論基礎(chǔ)的研究。人們后來(lái)發(fā)現(xiàn)，微積分的主要理論基礎(chǔ)是嚴(yán)格的極限理論。到了 19世紀(jì)初，柯西以極限理論為微積分奠定了理論基礎(chǔ)。但是柯西構(gòu)筑的理論大廈起初并不完善，這是因?yàn)榭挛鞑]有對(duì)實(shí)數(shù)給出嚴(yán)格的定義。而后來(lái)人們又發(fā)現(xiàn)，極限理論的某些基本原理依賴于實(shí)數(shù)系的連續(xù)性。 。 ，確界定理 。 ；理解復(fù)合函數(shù)、反函數(shù)、基本初等函數(shù)、初等函數(shù)等概念 。 、有界性、奇偶性、周期性等基本性質(zhì) . 教學(xué)目標(biāo)： 167。 1 實(shí)數(shù) 數(shù)學(xué)分析研究的是實(shí)數(shù)集上定義的函數(shù) ,因此我們首先要掌握實(shí)數(shù)的基本概念與性質(zhì) . 人類所認(rèn)識(shí)的第一個(gè)數(shù)系就是自然數(shù)系 ,它的定義為 {0,1,2,… }.雖然自然數(shù)對(duì)于計(jì)數(shù)來(lái)說(shuō)是夠用了，但是自然數(shù)系并不是一個(gè)完善的數(shù)系。 首先作為量的描述手段，它只能表示一個(gè)單位量的整數(shù)倍，而無(wú)法去表示此單位量的部分。此外，作為量的運(yùn)算手段，它只能自由地進(jìn)行加、乘運(yùn)算，而不能自由地進(jìn)行加、乘運(yùn)算的逆運(yùn)算（減、除）。自然數(shù)的這種離散性和運(yùn)算的不完備性，促使人們?nèi)?duì)它進(jìn)行擴(kuò)充。 人們首先引進(jìn)了負(fù)數(shù)，得到了整數(shù)系。對(duì)整數(shù)系人們可以自由進(jìn)行加、減運(yùn)算。 人們?yōu)榱说玫娇梢宰杂蛇M(jìn)行加、減、乘、除四則運(yùn)算的數(shù)系，對(duì)整數(shù)系中的任意兩個(gè)數(shù)進(jìn)行加、減、乘、除（除數(shù)不為零）得到的數(shù)的全體記為一個(gè)新的數(shù)系，這就是隨后得到的有理數(shù)系。 對(duì)于一個(gè)數(shù)集 K，若 K中至少有一個(gè)非零元素，且 K中任何兩個(gè)元素的加、減、乘、除（除數(shù)不為零）運(yùn)算后得到的數(shù)仍然屬于K，即 K關(guān)于四則運(yùn)算封閉，則稱 K為一個(gè)數(shù)域。 容易看出，有理數(shù)集就是一個(gè)數(shù)域。從代數(shù)上來(lái)講，有理數(shù)系已經(jīng)是一個(gè)完美的數(shù)系，它可以在任何精度要求下對(duì)一個(gè)量進(jìn)行表示和實(shí)施有效的運(yùn)算，并且任何兩個(gè)有理數(shù)之間必有有理數(shù)存在（或說(shuō)有理數(shù)有稠密性）。然而，早在 2500年前，人們就發(fā)現(xiàn)有理數(shù)系也有缺陷。例如，若用 c來(lái)表示一個(gè)邊長(zhǎng)為 1的正方形的對(duì)角線的長(zhǎng)度，則 c就無(wú)法用有理數(shù)表示。所以，有理數(shù)雖然在數(shù)軸上密密麻麻，但并沒有布滿整個(gè)數(shù)軸，留有許多 “ 空隙 ” 。這說(shuō)明還有新的數(shù)存在，但它沒有被嚴(yán)格地定義。 由于有理數(shù)系已經(jīng)對(duì)四則運(yùn)算封閉，因此我們必須用不同于以前的數(shù)系的擴(kuò)充才有可能得到新的數(shù)。前面指出，微積分的理論基礎(chǔ)是極限論，但在這種具有 “ 空隙 ” 的有理數(shù)系上實(shí)施極限運(yùn)算，就會(huì)極為不便。因此 ,正如四則運(yùn)算需要一個(gè)封閉的數(shù)域一樣，極限運(yùn)算也需要一個(gè)關(guān)于極限封閉的數(shù)域。這就需要將有理數(shù)進(jìn)行擴(kuò)充，使其能夠填補(bǔ)有理數(shù)在數(shù)軸上留下的所有這些 “ 空隙 ” 。 于是 ,這又歸結(jié)到如何定義無(wú)理數(shù)的問題上了。這一歷史任務(wù) ,終于在 19世紀(jì)后半葉 ,由戴德金（ Dedekind）和康托爾（ Cantor）等人完成。下面介紹戴德金關(guān)于實(shí)數(shù)的構(gòu)造方法。 設(shè) S是一個(gè)有大小順序的非空數(shù)集， A和 B是它的兩個(gè)子集，如果它們滿足以下條件： （ 1） ； （ 2） ； （ 3） ，都有 ab； （ 4） A中無(wú)最大數(shù)， 則我們將 A,B稱為 S的一個(gè)分劃 ,記為（ A|B） ,AB????A B S?,a A b B? ? ? ? 有理數(shù)系 Q的所有分劃構(gòu)成了一個(gè)集合，我們稱這個(gè)集合為實(shí)數(shù)系 ,并記為 ，有理數(shù)集與 R中的有理分劃是一一對(duì)應(yīng)