【文章內(nèi)容簡介】 MMS iiiini??? ),(],[1??矛盾 . 定理 , 存在 H 中的有限子覆蓋 167。 閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 實(shí)數(shù)完備性理論的一個(gè)重要作用就是證 一、最大、最小值定理 經(jīng)在第四章給出過 . 明閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)，這些性質(zhì) 曾 三、一致連續(xù)性定理 二、介值性定理 返回 首先來看一個(gè)常用的定理 . 有界性定理 若 f (x) 在閉區(qū)間 [a, b] 上連續(xù) , 則 f (x) [ , ] .ab在 上 有 界證 用兩種方法給出證明 . 第一種方法 使用有限覆蓋定理 . 因?yàn)? f (x) 在 [a, b] 一、最大、最小值定理 局部有界的性質(zhì)化為整體有界性質(zhì) . 上每一點(diǎn)連續(xù) , 從而局部有界 . 我們的任務(wù)就是將 [ , ] , 0 , 0 ,ttt a b M ?? ? ?對于任意的 存在 以及( , ) [ , ] ,ttx t t a b??? ? ?當(dāng)時(shí)| ( ) | .tf x M? H 覆蓋了閉區(qū)間 [a, b]. 由有限覆蓋定理 , 在 H 中存 1111( , ) , , ( , )nnt t n t n tt t t t? ? ? ?? ? ? ?[ , ] , , 1 ,x a b i i n? ? ?于任意 存在 使{ ( , ) | [ , ] } ,ttt t t a bH ??? ? ? ?設(shè)開區(qū)間集 顯然 12[ , ] . m ax { , , , } ,nt t ta b M M M M?覆蓋了 令則對在有限個(gè)開區(qū)間 第二種證法 采用致密性定理 . 因?yàn)?{xn} 有界 , 從而存在一個(gè)收斂的子列 . 為了書 寫方便 , 不妨假設(shè) {xn} 自身收斂 , 令 0l i m .nn xx?? ?( , ) , | ( ) | .ii ii t i t tx t t f x M M??? ? ? ? ?因此設(shè) f (x) 在 [a, b]上無界 , 不妨設(shè) f (x)無上界 . 則存在 l i m ( ) .nn fx?? ? ??{ } [ , ] ,nx a b? 使00, . ( ) ,na x b a x b f x x? ? ? ?因 則 又因 在 連續(xù)故由歸結(jié)原理可得 0 0l i m ( ) l i m ( ) ( ) ,nn x xf x f x f x? ? ?? ? ? ? ?矛盾 . 最大、最小值定理 (定理 ) 若函數(shù) f (x) 在 [a, b] 證 f (x) 在 [a, b] 上連續(xù) , 因而有界 . 由確界定理 , f (x) 在 [a, b] 上的值域有上確界 . 設(shè) 上連續(xù) , 則 f (x) 在 [a, b] 上取最大、最小值 . [ , ]s u p ( ) .x a bM f x??: ( [ , ] ) . ,M f a b?要證 若不然 則對于任意[ , ] ,x a b?1()()Fx M f x? ?()f x M? ， 于 是在 [a, b] 上連續(xù) , 從而有界 , 故存在 G 0, 使 10 ( ) .()F x GM f x? ? ??這樣就有 1( ) , [ , ] .f x M x a bG? ? ?這與 M 是 f (x) 在 [a, b] 上的上確界矛盾 . 這就證明了上確界 M 與下確界 m 都是可取到的 , 同理可證 :下確界 [ , ]in f ( )x a bm f x??也屬于 f ([a, b]). 最小值 . 這也就是說 , M 與 m 是 f (x) 在 [a, b]上的最大、 (定理 ) 設(shè)函數(shù) f (x) 在閉區(qū)間 [a, b]上連續(xù) , 且 , ( , ) ,ab? ?實(shí) 數(shù) 則 存 在 使證 在第四章中 , 我們已經(jīng)用確界定理證明此定理 . 現(xiàn)在用區(qū)間套定理來證明 . ( ) ( ) , ( ) [ , ] ,F x f x F x a b???設(shè) 則 在 上連續(xù) 并且二、介值性定理 f ( ) .???( ) ( )f a f b?若 是介于 與 之間的一個(gè)f (a) ? f (b). 將 [a, b] 等分成兩個(gè)區(qū)間 [a, c], [c, b], 若 F(c)=0, .0)()( ?bFaF下去 , 得到一列閉子區(qū)間 個(gè)區(qū)間的端點(diǎn)上的值異號 . 將這個(gè)過程無限進(jìn)行 F(c1) = 0, 已證 . 不然同樣可知函數(shù) F(x) 在其中一 將 [a1 , b1] 等分成兩個(gè)區(qū)間 [a1, c1], [c1 , b1], 若 間端點(diǎn)上的值異號 , 將這個(gè)區(qū)間記為 [a1, b1]. 再 已證 . 不然 , 函數(shù) F(x)在這兩個(gè)區(qū)間中有一個(gè)區(qū) 11( i ) [ , ] [ , ] , 1 , 2 , 。n n n na b a b n?? ??( ii ) 0 , 。2 nnn bab a n?? ? ? ? ?( i i i ) ( ) ( ) 0 .nnF a F b ?由區(qū)間套定理 , 存在惟一的 [ , ] , 1 , 2 , ,nna b n? ??li m li m . ( )nnnn a b F x??? ? ? ???并且 因?yàn)?在點(diǎn) 連續(xù),20 lim ( ) ( ) ( ( ) ) ,nnn F a F b F ?????所以( ) 0 . :F ? ?即 這也就是說.)( ??f{ [an , bn] }, 滿足 : (定理 ) 若函數(shù) f (x) 在 [a ,b]上連續(xù) , 則 f (x) 在 證 (證法一 ) 首先用致密性定理來證明該定理 . 在 設(shè) f (x) 在 [a, b] 上不一致連續(xù) , 即存在 對于,00 ??0 ( ) , , [ , ] ,x x a b?? ? ????一切 無論 多么小 總是存在三、一致連續(xù)性定理 [a, b] 上一致連續(xù) . 究 . 下述證明過程中 , 選子列的方法值得大家仔細(xì)探 | | ,xx ?? ????雖然 但0| ( ) ( ) | .f x f x ?? ????現(xiàn)分別取 1 11 1 11 , , [ , ] , | | 1 ,x x a b x x? ? ?? ? ??? ? ? ? ?1 1 0| ( ) ( ) | 。f x f x ?? ????2 2 2 211, , [ , ] , | | ,22x x a b x x? ? ?? ? ??? ? ? ? ?2 2 0| ( ) ( ) | 。f x f x ?? ????…… 11 , , [ , ] , | | ,n n n n nx x a b x x nn? ? ?? ? ??? ? ? ? ?0| ( ) ( ) | 。nnf x f x ?? ????{ } , { } [ , ] ,nnx x a b? ?? ?由此得到兩列 雖然1| | 0 ,nnxx n? ??? ? ?0| ( ) ( ) | .nnf x f x ?? ????因?yàn)? {x39。n} 有界 , 從而由致密性定理 , 存在 {x39。n} 的 kknn kx x x 0{ } . li m .???? ?一個(gè)收斂子列 設(shè).但是總有,bxa kn ???因?yàn)? 所以由極限的不等式性質(zhì) .0 bxa ??連續(xù) , 所以由歸結(jié)原理得到 0 l i m | ( ) ( ) |kknnk f x f x? ?? ? ????矛盾 . (證法二 ) 再用有限覆蓋定理來證明 . 00| lim ( ) lim ( ) | 0 ,x x x xf x f x?????0li m li m ( ) li m ,k k k kn n n nk k kx x x x x? ? ? ? ? ??? ?? ? ?? ? ? ?因?yàn)?以及 f 0, 0, ( 。 ) [ , ]xx x U x a b? ? ??? ? ?給 存在 當(dāng) 時(shí)有| ( ) ( ) | .2f x f x ?? ??考慮開區(qū)間集 { ( 。 ) | [ , ] } ,2 xH U x x a b???那么 H 是 [a, b] 的一個(gè)開覆蓋 . 由有限覆蓋定理 , 因 f (x) 在 [a, b] 上連續(xù) , 對任意一點(diǎn) [ , ] ,x a b? 任存在有限個(gè)開區(qū)間 1m in 0,2 iin????????????令 對于任何 , [ , ] ,x x a b? ??? 只 要,|| ?????? xx 那么 x? 必屬于上述 n 個(gè)小區(qū)間中的 一個(gè) , ,.22iiiix x x????? ? ? ???