數(shù)學(xué)分析-第十章-定積分應(yīng)用(編輯修改稿)
2025-09-01 07:19 本頁面
【文章內(nèi)容簡介】 (220???2022/8/26 37 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖 O A B C 與 O B C 分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差 . oyxa?2ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ??????tttax0)s i n(??????????20,)c os1()s i n(ttaxttax??????2)s i n(tttax2022/8/26 38 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)體體積可看作平面圖 O A B C 與 O B C 分別繞 y 軸旋轉(zhuǎn)構(gòu)成旋轉(zhuǎn)體的體積之差 . dyyxV ay )(220 2?? ? dyyxa )(220 1?? ?oyxa?2ABCa2 )(2 yxx ?)(1 yxx ?? ?? ???? 2 22 s i n)s i n( t d tatta? ? ???? 0 22 s i n)s i n( t d tatta? ??? ?? 20 23 s i n)s i n( t d ttta .633 a??2022/8/26 39 如果一個立體不是旋轉(zhuǎn)體，但卻知道該立體上垂直于一定軸的各個截面面積，那么，這個立體的體積也可用定積分來計算 . 二、已知截面面積的立體的體積 2022/8/26 40 x A(x) dV=A(x)dx x 已知平行截面面積為 A(x)的立體 ?? ba xxAV d)(. a V 平行截面面積為已知的立體的體積 b 2022/8/26 41 o y R x x y 22 xR ???? ?? ????? R R xxR d) t a n( ?tan???? R??? RR xxAV d)(–R R . . . ?) t a n( ?? ???? xRy tan? ? ? 問題： 還有別的方法嗎？ (x, y), 截面積 A(x) . 例 5：半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。求其體積。 . ? ?? R xxR0 22 d) t a n(21 2 ?2022/8/26 42 o y R x –R R 方法 2 . 半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。求其體積。 2022/8/26 43 o y R x –R R 方法 2 A B C D ? BC ?t a n?? ??? yRyDC 222 yR ??. . ? ?? R yαyRy0 22 d t a n2?tan???? R?? ?? )d( yySV. 截面積 S(y) (x, y) = 2x = ytan? . S(y) . 半徑為 R的正圓柱體被通過其底的直徑并與底面成 ?角的 平面所截， 得一圓柱楔。求其體積。 ??? R yySV )d(2022/8/26 44 h R x o x A(x) A(x) yh ???? ?? xRhV = ??RR xxA d )(. ? ?? R xxRh 0 22 d 2θθhRπdco s2 2022 ?? hR ???? ?. –R y . 例 6：求以半徑為 R的圓為底，平行且等于底圓直徑的線段為頂，高為 h的正劈錐體的體積。 y 2022/8/26 45 旋轉(zhuǎn)體的體積 平行截面面積為已知的立體的體積 ?????繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 x繞 軸旋轉(zhuǎn)一周 y繞非軸直線旋轉(zhuǎn)一周 三、小結(jié) 2022/8/26 46 平面曲線的弧長 ? 一、平面曲線弧長的概念 ? 二、直角坐標(biāo)情形 ? 三、參數(shù)方程情形 ? 四、極坐標(biāo)情形 ? 五、小結(jié) 2022/8/26 47 xoy0MA?nMB?1M2M 1?nM設(shè) A 、 B 是曲線弧上的兩個端點，在弧上插入分點BMMMMMAnni??? ,,110??并依次連接相鄰分點得一內(nèi)接折線，當(dāng)分點的數(shù)目無限增加且每個小弧段都縮向一點時， 此折線的長 ||11???niii MM 的極限存在，則稱此極限為曲線弧 AB 的弧長 .一、平面曲線弧長的概念 2022/8/26 48 設(shè)曲線弧為 )( xfy ?)( bxa ?? ，其中 )( xf在 ],[ ba 上有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)xoya bx dxx?取積分變量為 x ，在 ],[ ba上任取小區(qū)間 ],[ dxxx ? ，以對應(yīng)小切線段的長代替小弧段的長?dy小切線段的長 22 )()( dydx ? dxy 21 ???弧長元素 dxyds 21 ??? 弧長 .1 2 dxys ba? ???二、直角坐標(biāo)情形 2022/8/26 49 引 例 一塊矩形鋁平板被壓制成橫截面為正弦波形的瓦楞板。如果要求瓦楞板的波形高為 1 個長度單位，寬度 l 為 48 個長度單位，那么矩形板的寬度 s應(yīng)該取多少？ 解 所求弧長為 dxys ? ??? 48021s l dxx? ?? 4802c os12022/8/26 50 例 1 計算曲線 2332xy ? 上相應(yīng)于 x 從 a 到 b 的一段弧的長度 . 解 ,21xy ???dxxds 2)(1 21??? ,1 dxx??所求弧長為 dxxs ba? ?? 1 ].)1()1[(32 2323 ab ????a bdxys ba? ??? 212022/8/26 51 曲線弧為 ,)( )(??? ?? ty tx ?j )( ?? ?? t其中 )(),( tt ?j 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) .22 )()( dydxds ?? 222 ))](()([ dttt ?j ????dttt )()( 22 ? ??j ??弧長 .)()( 22 dttts ? ???? ?? ?j三、參數(shù)方程情形 2022/8/26 52 例 2 求星形線 323232ayx ?? )0( ?a 的全長 . 解 星形線的參數(shù)方程為 ?????taytax33si nc o s)20( ??? t根據(jù)對稱性 14ss ?? ? ? ? dtyxs ? ???? 20224? dttta??? 20c o ss i n34.6a?第一象限部分的弧長 dttts ? ???? ???j )()( 22a? aoyx2022/8/26 53 曲線弧為 )( ??? ??)(?rr ?其中 )( ?r 在 ],[ ?? 上具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) . ?????????s in)(c o s)(ryrx?)( ??? ??22 )()( dydxds ??? ,)()( 22 ??? drr ??弧長 .)()( 22 ????? drrs ? ???四、極坐標(biāo)情形 2022/8/26 54 例 3 求阿基米德螺線 ?ar ? )0( ?a 上相應(yīng)于? 從 0 到 ?2 的弧長 . 解 ,ar ???????? drrs ? ???? )()( 22? ?.)412l n (4122 22 ????????? a? ?? 20 ?? daa 222 ?
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