【正文】 分部積分法 一、變限積分與原函數(shù)的存在性 [ ] [ ] , [ ]f a , b x a , b f a , x設(shè) 在 上可積, 則 在 上??積分 。 3習(xí)題第 1題 , 知道 Δ Δ .ii iiTTxx? ? ???? ????[ , ] [ , ] ,T a c c b分割 在 和 上的部分 分別構(gòu)成對(duì)?Δ Δ , Δ Δ .i i i i i i i iTTx x x x? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ??? ? ?? ??? ? ? ?? ? ? ?, [ , ]c T a c T ?為 其 中 一 個(gè) 分 點(diǎn) 則 在 的 部 分 構(gòu) 成[ , ] [ , ] [ , ]a c c b T c b對(duì) 的分割, 在 的部分 構(gòu)成對(duì) 的 ??因此， f 在 [a, c] 與 [c, b]上都可積 . 若 f 在 [a, b] 上可積 ,由必要性證明 ,若分割 T 使點(diǎn) [ , ] [ , ] ,a c c b T T和 的分割, 記為 和 則 ? ??() Δ () Δ () Δ ., i i i i i iT T Tf x f x f x? ? ?分 割 且? ??? ????? ? ?0 , 0 , 0 ,T T T令 則 即得? ??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?( ) d ( ) d ( ) d .b c ba a cf x x f x x f x x??? ? ?性質(zhì) 5 [ , ] , ( ) d a b f x x若 在 上 非 負(fù) 、 可 積 則 ??證 ( ) d aJ f x x若 ??? 0 , 0 , ,JT ??? ? ? ? ?對(duì)ab若規(guī)定 時(shí) ?注 ( ) d ( ) d ,baf x x f x x????ab時(shí)?, , ,a b c則對(duì) 的任何大小順序 恒有( ) d 0,ba f x x ??因此 ,0)(1??????JJxfniii ??( ) 0 , Δ ? ??這 與 矛 盾推論 , [ , ] , ( ) ( ) ,f g a b f x g x x若 在 上可積 且 ??證 ( ) ( ) ( ) 0 , [ , ] ,F x g x f x x a b? ? ? ?設(shè) 則() Δ .iiTf x J J? ? ? ?? ],[ 1 iii xx ??? ?,d)(d)(d)(0 ??? ??? bababa xxfxxgxxF( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???[ , ],ab 則 若 f 在 [a, b] 上可積 ,則 | f |在 [a, b] 上 也 性質(zhì) 6 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???證 [ , ] , 0,f a b ???因 為 在 上 可 積,T? 使 得. ( ) ( ) ( ) ( ) ,fiiTx f x f x f x f x? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? 由1su p { ( ) ( ) , [ , ] }fi i if x f x x x x x? ?? ?? ? ??? ? ?1su p { ( ) ( ) , [ , ] } .fi i if x f x x x x x ??? ?? ? ??? ? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???即 可積 ,且 Δ Δ , [ , ]f fi i i iTx x f a b? ? ?故 即 在 上 可 積 .????( ) ( ) ( ) ,f x f x f x且由于 得到? ? ?( ) d ( ) d ( ) d ,b b ba a af x x f x x f x x? ? ?? ? ?因此證得 ( ) d ( ) d .bbaaf x x f x x???例 1 ( ) ( ) [ , ] , ( ) ( ) ,f x g x a b f x g x?設(shè) 和 在 上 連 續(xù)0 0 0[ , ] , [ , ] , ( ) ( ) ,x a b x a b f x g x且存在 使 則? ? ?( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???證 00( ) ( ) 0 , ( ) ( ) 0 ,g x f x g x f x且 不妨設(shè)? ? ? ?00( , ) [ , ] ,x x x a b??當(dāng)時(shí)? ? ? ?001( ) ( ) [ ( ) ( ) ] .2g x f x g x f x? ? ?由連續(xù)函數(shù)的局部保號(hào)性質(zhì) , 0,???0 ( , ) .x a b?由此推得 ?? [ ( ) ( ) ] dba g x f x x???? ? ? ???000[ ( ) ( ) ] d [ ( ) ( ) ] dxxaxg x f x x g x f x x?? ????? 0 [ ( ) ( ) ] dbx g x f x x??????00[ ( ) ( ) ] dxx g x f x x?? 00( ) ( ) 22g x f x ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???00[ ( ) ( ) ] 0 ,g x f x ?? ? ?即 ???( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x, [ , ]f g a b由 在 上可注 2 ( ) ( ) , [ , ] ,f x g x x a b??若積,可得注 1 ,fg例 1 中 條 件 與 的 連 續(xù) 性 可 減 弱 為 :[ , ] , ( ) ( ) , [ , ] ,f g a b f x g x x a b??和 在 上 可 積 且0 0 0[ , ] , ( ) ( ) ,f g x a b f x g x??存 在 和 的 連 續(xù) 點(diǎn) 使( ) d ( ) d .bbaaf x x g x x???則二、積分中值定理 定理 ( 積分第一中值定理 ) [ , ] , [ , ] ,f a b a b? ?若 在 上 連 續(xù) 則 存 在 使( ) d ( ) ( ) .ba f x x f b a???? 證 由于 f 在 [a, b] 上連續(xù)，因此存在最大值 M 和 ( ) d ( ) dbbaam b a m x f x x? ? ???( ) , [ , ] ,m f x M x a b? ? ? 因 此最小值 m. 由于 d ( ) ,ba M x M b a? ? ??1 ( ) d .bam f x x Mba??? ?1( ) ( ) d .baf f x xba? ? ? ?1( , ) , ( ) ( ) d ,bax a b f x f x xba? ? ? ? ?注 1 ( , )ab? 還 可 以 在內(nèi)取到 ,事實(shí)上若 由連續(xù)函數(shù)的介值性定理， [ , ] ,ab??? 使則由連續(xù)函數(shù)的介值定理 , 必恒有 即??? ?1( ) ( ) d , ( , ) .baf x f t t x a bba或 恒 有??? ?1( ) ( ) d , ( , ) ,baf x f t t x a bba1 1 1( ) d ( ) d db b ba a af x x f t t xb a b a b a??? ??? ? ???? ? ?1 ( ) d , 。 2 牛頓－萊布尼茨公式 若質(zhì)點(diǎn)以速度 v = v (t) 作變速直線(xiàn)運(yùn)動(dòng) ,由定積分 ( ) d ( ) ( ) .bas v t t s b s a? ? ??注意到路程函數(shù) s(t) 是速度函數(shù) v (t ) 的原函數(shù) , ( ) dbas v t t? ?定義 ,質(zhì)點(diǎn)從時(shí)該 a到 b所經(jīng)過(guò)的路程為 . 另一方面 , 質(zhì)點(diǎn)從某時(shí)刻 a 到時(shí)刻 b 所經(jīng)過(guò)的路 ( ) ( ) ,s t v t? ? 于是 程記為 s(b) s(a), 則 因此把定積分與不定積分聯(lián)系起來(lái)了 , 這就是下 面的牛頓 — 萊布尼茨公式 . 定理 (牛頓 — 萊布尼茨公式 ) 函數(shù) f 在 [a, b] 上滿(mǎn)足條件 : (i) f 在 [a, b] 上連續(xù) , (ii) f 在 [a, b] 上有原函數(shù) F, 則 (1) f 在 [a, b] 上可積 。i i iM f x x x x i n?? ? ?稱(chēng) 為 f 關(guān)于分割 T 的 下和 ,其中 1() Δniiis T m x?? ?? ?1in f ( ) | [ , ] , 1 , 2 , 。 類(lèi)似稱(chēng) ( ) ( ) dbxx f t t? ? ?為變下限的定積分 . 定理 ( 變上限定積分的連續(xù)性 ) [ ] ,f a , b若 在 上可積 ( ) ( ) d [ , ]xax f t t a b?則在 ? ?.上連續(xù)( ) ( ) d , [ , ]xax f t t x a b?稱(chēng) ???為 變上限的定 .可 積Δ ( ) d ( ) dx x xaaf t t f t t?? ????? .d)(? ?? xxx ttf?[ ] ,f a , b因 在 上有界 , | ( ) | , [ , ] .M f t x a b?故 ? ? ?于是 | Δ | ( ) d | Δ |,xxx f t t x??? 從 而????由 x 的任意性 , f 在 [ a, b ] 上連續(xù) . Δ 0lim Δ ?? ?],[ bax ??證 ],[ baxx ?? ?若 則 證 dttfxx xxa??????? )()()()( xxx ????????dttfdttf xaxxa ?? ?? ?? )()(a b xyo xx ??)(x?x定理 （微積分學(xué)基本定理 ) 若 f 在 [a, b] 上連續(xù) , ( ) ( ) d [ , ]xax f t t a b? ? ?則 在上處處可導(dǎo) ,且 ? ? ? ??d( ) ( ) d ( ) , [ , ] .d xax f t t f x x a bx??dttfdttfdttf xaxxxxa ??? ??? ?? )()()(,)(? ??? xxx dttf由積分中值定理得 ( ) ,fx?? ? ? ?xx ??? ?,0),(?fx ???? )(l i ml i m 00 ?fx xx ???? ????).()( xfx ?? ??a b xyo xx ??)(x?x.x x x? ??在 與 之 間注 1 本定理溝通了導(dǎo)數(shù)與定積分這兩個(gè)表面上似 續(xù)函數(shù)必存在原函數(shù)” 這個(gè)重要結(jié)論 . 乎不相干的概念之間的內(nèi)在聯(lián)系 , 也證明了 “連 定理 如果)( xF 是連續(xù)函數(shù) )( xf 在區(qū)間 ],[ ba上的一個(gè)原函數(shù)，則 牛頓 — 萊布尼茨公式 )()()( aFbFdxxfba ???? ? baFx?又 ? dttfx xa??? )()( 也是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù) , ? 已知 )( xF 是 )( xf 的一個(gè)原函數(shù)， CxxF ???? )()( ],[ bax ?證 令 ax ? ,)()( CaaF ????0)()( ??? ? dttfa aa? ,)( CaF ??),()()( aFxFdttfxa ??? ?,)()( CdttfxF xa ?? ??令 ?? bx ).()()( aFbFdxxfba ??? 如果 )( tf 連續(xù)， )( xa 、 )( xb 可導(dǎo)， 則dttfxF xb xa?? )( )( )()( 的導(dǎo)數(shù) )( xF ? 為 補(bǔ)充 ? ? ? ?( ) ( ) ( ) ( )f b x b x f a x a x????證 0 ( )( ) 0( ) ( ) ( )bxaxF x f t d t????dttfxb?? )(0 )( ,)()(0 dttfxa??? ? ? ? )()()()()( xaxafxbxbfxF ?????()()( ) ( )bxaxdF x f t d tdx? ? ?例 1 求 .l i m 21co s02xdtextx? ??解 ? ?1c o s 2x t dtedxd ,c o s12? ??? x t dtedxd)( co s2c o s ???? ? xe x ,si n 2c o s xex ???21cos02lim xdtextx? ?? xex xx 2si nlim 2c o s0???? .21e?00分析： 這是 型不定式，應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 例 2 設(shè) )( xf 在 ),( ???? 內(nèi)連續(xù)，且 0)( ?xf .證明函數(shù)???xxdttfdtttfxF00)()()(在 ),0( ?? 內(nèi)為單調(diào)增