【正文】 ?從而 性質(zhì) 1 k 為常數(shù) , 則 k f 若 f 在 [ a,b ] 上可積， 11() Δ () Δnni i i iiik f x k J k f x J????? ? ???因此 [ , ] ,k f a b在 可 積 .d)(d)( ?? ? baba xxfkxxkf且性質(zhì) 2 , [ , ] ,f g a b若 在 上可積 [ , ]f g a b則 在 上?可積 , 且 ( ( ) ( ) ) d ( ) d ( ) d .b b ba a af x g x x f x x g x x? ? ?? ? ?證 12 ( ) d , ( ) d .bbaaJ f x x J g x x ?? ? ? ???記 于是 0 ,10, [ , ] , 1 , 2, , ,i i iT x x i n? ? ? ?? ? ? ? ? ?當 時，.1k k ? ????11() Δ ,2niiif x J ?????? 21() Δ .2niiig x J ??????從而 121[ ( ) ( ) ] Δ ()ni i iif g x J J???? ? ??1211() Δ () Δnni i i iiif x J g x J????? ? ? ???.22?? ?? ? ?因此， f 177。ba f x xba? ? ? 矛 盾因此 11 ( ) d ( ) d , .bbaaf x x f x xb a b a或 矛 盾?????注 2 積分第一中值定理的幾何意義如下圖所示 : ? xyO a b()f ?( ) [ , ]y f x a b圖中 在 上的曲邊梯形的面積, 等于?1( ) ( ) dbaf f x xba? ? ? ?定理 ( 推廣的積分第一中值定理） , [ , ] , ( ) [ , ]f g a b g x a b若 在 上 連 續(xù) 且 在 上 不 變 號 ,? ? ???[ , ] , ( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaa b f x g x x f g x x??則 使[ , ] , ( )a b f ?以 為 底 為 高 的 矩 形 面 積 .證 ( ) 0 , [ , ] . , ( )g x x a b m M f x不妨設(shè) 若 分別是??( ) ( ) ( ) ( ) , [ , ] .m g x f x g x M g x x a b? ? ?0 ( ) d ( ) ( ) d ( ) d b ba a am g x x f x g x x M g x x? ? ? ?? ? ?[ , ] ,ab? ?此時可任取 使得( ) ( ) d 0 ( ) ( ) d .bbaaf x g x x f g x x?????( ) ,gx則 因 非 負 、 連 續(xù) 必 定 使 得( ) d 0,ba g x x若 ??[ , ]ab在 上 的 最 小 值 與 最 大 值 , 則( ) 0 , [ , ] ,g x x a b??( ) ( ) d.( ) dbabaf x g x xmMg x x????? ??( ) ( ) d( ) ,( ) dbabaf x g x xfg x x?( ) ( ) d ( ) ( ) d .bbaaf x g x x f g x x?即 ???( ) d 0,ba g x x ??若則[ , ] ,ab? ?由 連 續(xù) 函 數(shù) 的 介 值 性 定 理 , 存 在 使 得例 2 比較積分值 dxe x? ? 20 和 dxx? ? 20 的大小 . 解 令 ,)( xexf x ?? ]0,2[??x,0)( ?xf? ,0)(0 2 ??? ?? dxxe xdxe x??? 02 ,02 dxx???于是 dxe x?? 20 .20 dxx???例 3 估計積分 dxx? ? ?0 3s i n31的值 . 解 ,si n3 1)( 3 xxf ?? ],0[ ??? x,1s i n0 3 ?? x ,31si n3 141 3 ??? x,31s i n3 141 00 30 dxdxxdx ??? ??? ???.3s i n3 14 0 3 ?????? ? ? dxx例 4 估計積分 dxxx???24s i n的值 . 解 ,si n)( x xxf ?2si nco s)(xxxxxf ???2)t a n(co sxxxx ??]2,4[ ???x,0?)( xf 在 ]2,4[ ?? 上單調(diào)下降 , 故 4??x 為極大點， 2??x 為極小點 , ,22)4( ???? fM ,2)2( ???? fm,442 ??????? ab?,422si n42 24????????? ??? dxxx.2 2si n21 24??? ??? dxxx作業(yè) 習(xí)題 4 167。 0 1 , 4 x t x t?? ? ? ? ?時 時 于是43 20121d ( 3 ) d221x x t tx? ?????3 311 ( 3 )23t t?? 1 2 7 1[ ( 9 ) ( 3 ) ]2 3 3? ? ? ?.322? （變元 ,變限） 例 6 π 350 sin sin d .x x x求 ??解 π 350 sin sin dx x x??3π20 sin | c o s | dx x x? ? 33ππ222π02si n c os d si n ( c os ) dx x x x x x? ? ???33π π222 π0 2si n d ( si n ) si n d ( si n )x x x x?? π π55222π0 222sin sin55xx? ? ? ???? ? ? ?? ? ? ?2 2 4( ) .5 5 5? ? ? ?（必須注意偶次根式的非負性） 積分的分部積分公式： ( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????證 因為 uv 是 vuvu ??? 在 [ a, b ] 上的一個原函數(shù) , ( ( ) ( ) ) dba u x v x x?? ? ( ) ( ) .bau x v x?移項后則得 所以 ( ) ( ) d ( ) ( ) dbbaau x v x x u x v x x?? ???( ) ( ) d ( ) ( ) ( ) ( ) d .bb baaau x v x x u x v x u x v x x??????定理 （定積分分部積分法） 若 u(x),v(x)為 [a, b] 上的連續(xù)可微函數(shù) ,則有定 例 7 120 ar c sin d .xx?求解 11 1222000 2dar c si n d ar c si n1xxx x x xx?????11222201 π 1 ( 1 ) d ( 1 )2 6 2 xx?? ? ? ? ??1220π 112 x? ? ?π 3 1.1 2 2? ? ?例 8 π20 sin d .n xx求 ?解 π20 sin dnnJ x x? ?π π1 2 22 200sin c o s ( 1 ) sin c o s dnnx x n x x x??? ? ? ? ?π π22200( 1 ) sin d ( 1 ) sin dnnn x x n x x?? ? ? ???.)1()1( 2 nn JnJn ???? ?于是 21 , 2 .nnnJ J nn ????π200πd,2Jx???π210 sin d 1 ,J x x???22 1 2 3 1 π ( 2 1 ) ! ! π ,2 2 2 2 2 ( 2 ) ! ! 2mm m mJm m m? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ??212 2 2 2 ( 2 ) ! !1,2 1 2 1 3 ( 2 1 ) ! !mm m mJm m m??? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ?1 , 2 , .m ?其中 若 u(x),v(x) 在 [a, b] 上有 (n+1) 階連續(xù)導(dǎo)函數(shù) ,則 ( 1 )( ) ( ) db na u x v x x??( ) ( 1 )[ ( ) ( ) ( ) ( )nnu x v x u x v x??? ? ? ? ? ?1 ( 1 )( 1 ) ( ) ( ) d .bnna u x v x x???? ?三、泰勒公式的積分型余項 由此可得以下帶積分型余項的泰勒公式 . ()( 1 ) ( ) ( ) ] bnnau x v x??( ) ( ) ( ) ,nnf x P x R x??0( 1 )1( ) ( ) ( ) d .!x nnn xR x f t x t tn????00( ) , ( ) ( ) , ( ) ( ) ,nx U x u t x t v t f t t x? ? ? ?證 設(shè)在階連續(xù)導(dǎo)數(shù) , 則 ( ) ( ) ,nP x f x n為 的 階泰勒多項式 余項為其中,x與 之間 則 定理 00( ) ( ) 1f x x U x n ?設(shè) 在 的某鄰域 內(nèi)有.d))((!1)(0)1(? ?? ?xxnnn ttxtfnxR其中注 由推廣的積分第一中值定理 ,可得拉格朗日型 0 0 0! ( ) ! [ ( ) ( ) ( )n f x n f x f x x x?? ? ? ? ? ? ? ?()00() ( ) ] ! ( ) ,!nnnfx x x n R xn? ? ?0 0! ( ) ] 0 ( ) dxxx xn f t f t t? ? ??0( 1 )( ) ( ) dx nnx x t f t t???( ) 1 ( 1 )[ ( ) ( ) ( ) ( )n n n nx t f t n x t f t??? ? ? ? ? ? ? ?由積分第一中值定理 ,可得 0( 1 )1( ) ( ) ( ) d!x nnn xR x f t x t tn????( 1 )01 ( ) ( ) ( ) ,!nnf x x xn ???? ? ?0( 1 )1: ( ) ( ) ( ) d!x nnn xR x f t x t tn????余項0( 1 )1 ( ) ( ) d!xnnxf x t tn ???? ?( 1 ) 101 ( ) ( ) .( 1 ) !nnf x xn ????))((!1)( 00)1( xxxfnxR nn ??? ? ?0 0 0[ ( ) ] ( )nx x x x x x?? ? ? ? ?.)()1) ) (((!1 1000)1( ?? ????? nnn xxxxxfn ??此式稱為泰勒公式的 柯西型余項 . 00 ( ) , 0 1 ,x x x? ? ? 則? ? ? ? ?若記 例 9 計算 解 ? ???a adxxax0 22 )0(.1令 ,s in tax ?ax ? ,2??? t 0?x ,0?? t,c o s t dtadx ?原式 ????? 20 22 )s i n1(s i nc o s dttatata????20 c o ss i nc o s dtttt? ? ?????????? 20 c o ss i ns i nc o s121 dttttt? ? 20c o ss i nln21221 ?????? ??證 ,)()()(00? ??? ? ??aaaa dxxfdxxfdxxf在 ? ?0 )(a dxxf 中令 tx ?? , 例 10 當 ) ( x f 在 ] , [ a a ? 上連續(xù)，且有 ① ) ( x f 為偶函數(shù)，則 ? ? ? ? a a a dx x f dx x f 0 ) ( 2 ) ( ； ② ) ( x f 為奇函數(shù)，則 ? ? ? a a dx x f 0 ) ( . ?? ?0 )(a dxxf ? ??? 0 )(a dttf ,)(0? ?a dttf① )( xf 為偶函數(shù)，則 ),(