【正文】 實數(shù)的大小關(guān)系有以下性質(zhì) : 三者必有其中之一成立，且只有其中之一成立 . ( 2 ) , , .x y y z x z? ? ?若則即大小關(guān)系具有傳遞性 . 三、實數(shù)的四則運算 實數(shù)集 R 對加 、 減 、 乘 、 除 （ 除數(shù)不為 0） 亦是 有理數(shù)集 Q 對加、減、乘、除（除數(shù)不為 0）是 實數(shù)的四則運算與大小關(guān)系 , 還滿足 : +( 1 ) , R , R , , .x y x y x y? ? ?? ? ? ? ?若 則.,)2( 22112121 yxyxyyxx ?????? 則封閉的 . 封閉的 . 例 1 + 10 1 , N , .b n bn? ? ? ? ?若 則 使 得1 .bn ?證 1 , ,a ?令 由阿基米德性 +N , 1n n b? ? ?使 ， 即阿基米德 ( Archimedes, .－ . , 希臘 ) 四、實數(shù)的阿基米德性 實數(shù)具有阿基米德性 : +, R , 0 , N , .a b b a n n a b? ? ? ? ? ? ?若 則 使 得五、實數(shù)的稠密性 之間，既有有理與任意兩個不相等的實數(shù) 數(shù)又有無理數(shù) . 必有另一個之間與任意兩個不相等的實數(shù) ,.1 ba.2. bacc ??例如實數(shù)證 +N,a b n??若 ， 則 存 在 使).(211 abn ??的最大的正整數(shù)，是滿足設 ankk ?.1 ank ??即是則 nknk 2,1 ?? ,21, bnknka ?????于是例 2 .0,R, bababa ?????? ，則，對若 ??證 ,0???? baba ?，設倘若 ,??? ba則.矛盾與 ??? ba的無理數(shù) . 1 π4k abnn而 是 與 之 間? ? ,ab與 之間的有理數(shù)六、實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應 實數(shù)集 R與數(shù)軸上的點可建立一一對應關(guān)系 , 這種對應關(guān)系反映了實數(shù)的完備性 . 七、實數(shù)的絕對值與三角形不等式 2. 實數(shù)的絕對值性質(zhì) : .0||0。 ) { | 0 | | } :U a x x a a? ? ?? ? ? ? 點 的 空 心 鄰 域( 。,)i( ???? xSx ,( i i ) 0 Sx ???? ?? 0 ,x ??使 得若數(shù)集 S 有上界 , 則必有無窮多個上界 , 而其 中最小的一個具有重要的作用 . 最小的上界稱為 上確界 . 同樣 , 若 S 有下界 , 則最大的下界稱為 下 確界 . 注 2 ( ii)顯 然 , 條 件 亦 可 換 成 :00 ,.x S x? ? ?? ? ? ? ? ?0,注 1 條件 (i) 說明 是 的一個上界 , 條件 (ii)說明 S?比 小的數(shù)都不是 的上界 ,從而 是最小的上 S ??界 ,即 上確界是最小的上界 . 定義 3 R , . R :SS ?設 若 滿 足? ? ? ?( i) , 。011,)i( ????? nxSx雖然我們定義了上確界 , 但并沒有證明上確界的 存在性 , 這是由于上界集是無限集 , 而無限數(shù)集 不一定有最小值 , 例如 (0, ?) 無最小值 . 三、確界存在性定理 證法一 設 S 是有上界的非空集合 .為敘述方便起 見 ,不妨設 S 含有非負數(shù) . }.0,|{ ???? xSxxS記0 1 2, . .x S x b b b x?? ? ? 是 的 正 規(guī) 的 小 數(shù) 表 示R , . , 。 ,S x S x n n x S? ? ? ? ? ? ?則011..10x n n??Nkn ?一 般 地 用 歸 納 法 可 證 明 存 在 及0 1 1{ | , . } ,k k kS x x S x n n n a??? ? ?01, , . 。R,)i(.1 ???????? aa規(guī)定s u p N , in f { 2 | N } .n n ?? ?? ? ? ? ??例 12. 推廣的確界原理 : 非空數(shù)集必有上、下確界 . .s u p,)ii( ???SS 記無上界若.i n f, ???SS 記無下界若作業(yè) 習題 4 167。 函數(shù)概念的萌芽，可以追溯到古代對圖形軌跡的研究，隨著社會的發(fā)展，人們開始逐漸發(fā)現(xiàn)，在所有已經(jīng)建立起來的數(shù)的運算中，某些量之間存在著一種規(guī)律：一個或幾個量的變化，會引起另一個量的變化，這種從數(shù)學本身的運算中反映出來的量與量之間的相互依賴關(guān)系，就是函數(shù)概念的萌芽。英國數(shù)學家格雷果里在1667年給出的函數(shù)的定義，被認為是函數(shù)解析定義的開始。 函數(shù)概念被提出后，由于微積分學的發(fā)展 ,函數(shù)概念也不斷進行擴張，日趨深化。 D 稱為 f 的定義域 。當研究方程問題時，特別是證明方程根的存在性與個數(shù)時，我們可以從函數(shù)的觀點出發(fā)，化靜為動，這樣往往可以化難為易、化繁為簡。從函數(shù)的觀點出發(fā)，將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為相應的函數(shù)問題，是求數(shù)列問題的一種有效方法。f g h x x D ???2 2( ) ( ) ln ( a r c s in ) , ( 0 , 1 ] 。h f g x x D? ? ? ?, 1 , , 6 .kDk ?其 中 是 相 應 復 合 函 數(shù) 的 定 義 域2( ) 。yx ? ??冪函數(shù) 為實數(shù))。s i n hc o s hc o s hs i n h)s i n h ( yxyxyx ???。s i n h xy ?反雙曲正弦 ar).1l n(si nh2 ????xxxy ar sin har? xy.),1[ 內(nèi)單調(diào)增加在 ??),1[: ??D?y反雙曲余弦 coshar).1l n(c o sh2 ????xxxy arxcoshar x?y.11ln21 xx???)1,1(: ?D奇函數(shù) , .)1,1( 內(nèi)單調(diào)增加在 ??y反雙曲正切 ta nharxy t a nh?arxtanhar x?y作業(yè) 習題 6 167。22+ RRnnyx 在 上 嚴 格 增 , 在 上 嚴 格 減 .??1 1 +Rnny y y? ?上 為 正 值 嚴 格 增 , 可 知 在 上 亦 正 值+R在 上 亦 正 值 嚴 格 增 .由歸納法 ,若已證 +Rny 在嚴 格 增 .1 2 2 10 , 0 ,x x x x? ? ? ? ? ?若 則 于 是2 2 2 1 2 12 1 2 1( ) ( ) , ( ) ( ) ,n n n nx x x x??? ? ? ? ? ?2 2 2 1 2 12 1 2 1 2,Rn n n n nx x x x y即 . 這 就 證 明 了 在 ?????21 Rny上 嚴 格 減 , 而 在 上 嚴 格 增 .??1 2 1 20 0 ,x x x x? ? ? ?若 或 則2 1 2 1 2 1 2 11 2 1 200n n n nx x x x? ? ? ?? ? ? ?或 ，21 Rny ?這 證 明 了 在 上 嚴 格 增 .[ ] R ,yx?易 證 函 數(shù) 在 上 是 增 函 數(shù) 但 非 嚴 格例 5 增 . xyO111?1? 222?2? 3 43上也是嚴格在其定義域且有反函數(shù) )(, 11 Dfff ??.增函數(shù)( ) , ,y f x x D f??設 為 嚴 格 增 函 數(shù) 則 必定理 11, f f f??類 似 地 嚴 格 減 函 數(shù) 必 有 反 函 數(shù) 且 在 其.定 義 域 上 也 是 嚴 格 減 函 數(shù), ( ) .x D f x y??使, ( )f D y f D設 在 上 嚴 格 增 則 ??證 只有一個 1 2 1 2, ( ) ( ) ,x x f x y f x? ? ? ?事實上, 若 使f則 與1.: f ?的 嚴 格 增 性 質(zhì) 相 矛 盾 再 證 必 是 嚴 格 增 的,),(, 2121 yyDfyy ???1 2 1 2,y y f x x??由 于 及 的 嚴 格 增 性 必 有 即111 1 2 2( ) , ( ) ,x f y x f y????1 1 112( ) ( ) , .f y f y f? ? ?? 因 此 也 是 嚴 格 增 函 數(shù)ny因 此 的 反 函 +Rnnyx ?由 于 在 上 嚴 格 增 ,例 6 +,Rrnr y xm?? 在 上 亦 為 嚴 格 增 .1/ +Rnnzx ?數(shù) 在 上 嚴 格 增 ,故 對 任 意 有 理 數(shù)0 1 , R .a?? 時 在 上 嚴 格 減1 2 1 1 2 2, , ,r r Q x r r x? ? ? ? ?使 因 此1 1 21s u p { , }x r rra a r Q r x a a? ? ? ? ?22s u p { , } .xra r Q r x a? ? ? ?1 , Rxy a a??證 明 ： 當 時 在 上 嚴 格 增 。x x r D x r D x? ? ? ? ? ?若 則Q , Q , ( ) 0 ( ) .x x r D x r D x? ? ? ? ? ?若 則因此 , ()r D x是 的 一 個 周 期 .思考題 設 0?? x ，函數(shù)值 21)1( xxxf ??? ，求函數(shù) )0()( ?? xxfy 的解析表達式 .思考題解答 設 ux ?1則 ? ? 2111 uuuf ??? ,112uu???故 )0(.11)(2???? xx xxf一、 填空題 : 1 、 若 215( ) 2fttt?? , 則 __________)( ?tf , __ __ __ __ __)1(2??tf. 2 、 若 ???????????3,s i n3,1)(xxxt, 則 )6(?? =_______ __ ， )3(?? =_________. 3 、不等式15 ??x的區(qū)間表示法是 _________. 4 、設 2xy ?, 要使 ),0( ?Ux ?時，)2,0(Uy ?, 須?_________ _. 練習題 二、證明 xy lg? 在 ),0( ?? 上的單調(diào)性 .三、證明任一定義在區(qū)間 )0(),( ?? aaa 上的函數(shù)可表 示成一個奇函數(shù)與一個偶函數(shù)之和 .四、設 )( xf 是以 2 為周期的函數(shù)，且?????????10,001,)(2xxxxf , 試在 ),( ???? 上繪出)( xf 的圖形 .五、證明：兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)，兩個奇函數(shù)的 乘積是偶函數(shù)，偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù) .六、證明函數(shù)acxbaxy??? 的反函數(shù)是其本身 .七、求 xxxxeeeexf?????)( 的反函數(shù)，并指出其定義域 .一、 1 、225tt ? ,222)1(2)1(5???tt ； 2 、 1,1 ； 3 、 (4, 6 ) ； 4 . ]2,0(? .七、 )1,1(,11ln ????xxy .練習題答案 作業(yè) 習題 10