數(shù)學(xué)分析第四篇多元函數(shù)微分學(xué)-預(yù)覽頁
【正文】 ：設(shè)平面點集，若按照某對應(yīng)法則，中每一點都有唯一確定的實數(shù)與之對應(yīng)，則稱為定義在上的二元函數(shù)（或稱為到的一個映射），記作,，且稱為的定義域，所對應(yīng)的為在點的函數(shù)值，記作或。有時簡記為。若，但，則不存在。 3) .4. 累次極限.1) 定義：對于函數(shù)，若固定存在，且也存在，則稱為在處先對后對的累次極限，記為，類似可定義。若，則稱在處關(guān)于連續(xù)。4. 元函數(shù)唯一存在與連續(xù)可微性定理。2）函數(shù)在點的偏導(dǎo)數(shù)存在，則在點取得極值的必要條件為：，滿足上述條件的點稱為穩(wěn)定點或駐點。④判定該點是否為條件極值：如果是實際問題，可由問題本身的性質(zhì)來判定，如不是實際問題，可用二階微分判別。2. 空間曲線的切線與法平面1) 空間曲線由參數(shù)方程表出，假定不全為零，則曲線在處的切線方程式為：。問極限是否存在？若存在，試求其值?！咀C明】顯然。 ■【例4】設(shè)，其中和為可微分兩次的函數(shù). 證明：，其中 ，為拉普拉斯算子.【提示】計算時要計算三個二階偏導(dǎo)數(shù)，而中地位是一樣的，故可以考慮利用對稱性，從而減少計算量。 ■【例8】設(shè)在全平面上二次可微且恒不為零，證明的充分必要條件是滿足方程.【證明】 ，由于在全平面上二次可微且恒不等于零，不妨設(shè)，令，則有.下面證明，實際上由可得，因此.這說明結(jié)論成立. ■【例9】求函數(shù)一階和二階的偏導(dǎo)數(shù)，其中.【證明】等式兩邊微分，得 ①故有 .于是，.再將①式微分一次，得.故有 .于是 . ■【例10】設(shè)可微函數(shù)對任意實數(shù)()滿足, 點是曲面上一點，且. 求此曲面在點處的切平面方程。 ■【例2】設(shè)在閉立方體上連續(xù)。令且 可得在上連續(xù)?！咀C明】 由于故對取，當(dāng)時，,即故在點處連續(xù)，下證在點處不可微?！咀C明】 由 當(dāng)時，故從而在點處連續(xù)。試證：【證明】 由條件(2)，得當(dāng)時 （1）在上面（1）式兩邊令，則存在，令由條件2），. （2）由條件1），. （3）由，.取，當(dāng)，時 即 ■例6】證明微分中值定理設(shè)二元函數(shù)在凸區(qū)域上兩個偏導(dǎo)數(shù)都存在，則對于內(nèi)任何兩點，有其中【證明】 （1）令，則由一元函數(shù)的中值定理有： （），即 （），同理令，可得 （）代入（1）式即可證明。【解】 由兩邊取對數(shù) (1)兩邊對x求導(dǎo)有。令得由此可見函數(shù)的最小值只能在曲線上達(dá)到，且 因此，在上，即證。試由證明等式：?！咎崾炯包c評】將原方程兩邊對求偏導(dǎo)得：；將原方程兩邊對求偏導(dǎo)得：；【訓(xùn)練題6】設(shè)為可微函數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足：。然后寫出切平面方程。從而面積?！居?xùn)練題11】試求函數(shù)的極值與極值點，并指出是極大值還是極小值?！咎崾炯包c評】此題是條件極值問題，先寫出長方體的表面積，然后利用長方體內(nèi)于橢球面，從而得到約束條件?！居?xùn)練題13】設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，：在極坐標(biāo)下與矢徑無關(guān)。證明存在使得：.【提示及點評】首先推出。23
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