數(shù)學(xué)分析第四篇多元函數(shù)微分學(xué)-資料下載頁
2025-06-07 19:16本頁面
【正文】 . C B 圖1 ■【例11】設(shè)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，試證：若，則有最小值.【證明】由題設(shè)，當(dāng)時(shí)。 令， 則有 O 如圖2，設(shè)是圓上的點(diǎn)，是過，的射線，則當(dāng)，且時(shí)，有. 圖2因此，當(dāng)，則該最小值也是在全平面上的最小值. ■ 訓(xùn)練題提示點(diǎn)評(píng)【訓(xùn)練題1】考慮二元函數(shù)，問此函數(shù)在(0,0)處是否連續(xù)？【提示及點(diǎn)評(píng)】考慮點(diǎn)延趨于零時(shí)的極限。 ■【訓(xùn)練題2】考慮二元函數(shù)在(0,0)處的可微性.【提示及點(diǎn)評(píng)】因此，在(0,0)處可微. ■【訓(xùn)練題3】若是的函數(shù)。試由證明等式：?！咎崾炯包c(diǎn)評(píng)】 利用 ■【訓(xùn)練題4】證明：二元函數(shù)在平面上處處連續(xù)但不一致連續(xù)?！咎崾炯包c(diǎn)評(píng)】連續(xù)性主要考慮時(shí)。取及特殊點(diǎn)列使得及. ■【訓(xùn)練題5】函數(shù)由方程給出，其中可微，求證： 。【提示及點(diǎn)評(píng)】將原方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得：；將原方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得：；【訓(xùn)練題6】設(shè)為可微函數(shù)，證明由方程所確定的函數(shù)滿足：?！咎崾炯包c(diǎn)評(píng)】原方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得。原方程兩邊對(duì)求偏導(dǎo)得。【訓(xùn)練題7】證明曲面上任何一點(diǎn)的切平面在各坐標(biāo)軸上的截距之和為.【提示及點(diǎn)評(píng)】：計(jì)算得到切平面的法線方向。然后寫出切平面方程。【訓(xùn)練題8】設(shè)具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)且滿足，試求的表達(dá)式。【提示及點(diǎn)評(píng)】是，的復(fù)合函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則可以得到之間的關(guān)系式，再代入原等式得到的微分方程，可求出.【訓(xùn)練題9】若直角三角形的一條直角邊與斜邊之和為常數(shù)，求有最大面積的直角三角形?！咎崾炯包c(diǎn)評(píng)】設(shè)一直角邊為，斛邊為且為常數(shù)，則另一直角邊。從而面積?！居?xùn)練題10】求橢圓的內(nèi)接等腰三角形的最大可能面積，要求其底邊平等于橢圓的長軸?！咎崾炯包c(diǎn)評(píng)】設(shè)等腰三角形底邊與橢圓相交于兩點(diǎn),則面積。再利用條件極值的求法進(jìn)行計(jì)算?！居?xùn)練題11】試求函數(shù)的極值與極值點(diǎn)，并指出是極大值還是極小值?！咎崾炯包c(diǎn)評(píng)】計(jì)算出。：時(shí)，上述點(diǎn)都是極大值，而時(shí)該點(diǎn)不是極值點(diǎn)。就也說明函數(shù)有無窮多極大值點(diǎn)而無極小值點(diǎn)（中國人民大學(xué) 2000年碩士生入學(xué)考試題）【訓(xùn)練題12】在橢球面內(nèi)，求一表面積最大的內(nèi)接長方體，并求出其表面積。【提示及點(diǎn)評(píng)】此題是條件極值問題，先寫出長方體的表面積，然后利用長方體內(nèi)于橢球面，從而得到約束條件。如：設(shè)長方體長、寬、高分別為，則。約束條件為：。利用拉格朗日乘數(shù)法求解得到?！居?xùn)練題13】設(shè)函數(shù)具有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù)，：在極坐標(biāo)下與矢徑無關(guān)。【提示及點(diǎn)評(píng)】要證明題目結(jié)論，實(shí)際上要證明。令。利用計(jì)算即可.【訓(xùn)練題14】設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且當(dāng)時(shí)，及滿足對(duì)任意的。證明存在使得：.【提示及點(diǎn)評(píng)】首先推出。取在上的最大值和最小值。令，.顯然成立。而當(dāng)時(shí),。23
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