數(shù)學分析函數(shù)極限概念-資料下載頁
2025-08-11 12:13本頁面
【導(dǎo)讀】聯(lián)系,它們之間的紐帶就是歸結(jié)原理.概念和重要性質(zhì).作為數(shù)列極限的推廣,f當x趨于時以A為。x趨于例如函數(shù),arctanxy?定數(shù),若對于任意正數(shù)存在使得，0??)(則稱函數(shù).為極限。.,上的一個函數(shù)為定義在設(shè)??證對于任意正數(shù)),10(????定義在則的一個鄰域內(nèi)，)(xf. 則由定理，.不存在。)(lim的充要條件是：。的某空心鄰域0x在點。下面我們直接給出函數(shù)f時以常數(shù)A0xx?只要式就能成立,故取即可.1,()x???????可以先限制因為此時有,10??注在例5、例6中,我們將所考慮的式子適當放大,不是“最佳”的,但這不影響我們解題的有效性.其目的就是為了更簡潔地求出?,或許所求出的?證首先，在右圖所示的單位圓內(nèi),.0時成立上式中的等號僅在?,sinx故均是奇函數(shù),x又因為有
【正文】 頁 前頁 滿足時則當令 ,||0,},m in { 021 ???? ???? xx,)()( ?? ????? BxgxfA所以證得是任意正數(shù)因為從而有 ,.2 ???? BA.BA ?返回 后頁 前頁 且設(shè) ,)(l i m)(l i m00Axgxf xxxx ?? ??定理 （迫斂性） 內(nèi)有的某個空心鄰域在 )( 00 xUx ?).()()( xgxhxf ??.)(l i m0Axhxx ??那么證 因為 所以對于任意,)(lim)(lim00Axgxf xxxx ?? ??有時當存在 ,||0,0,0 0 ??? ????? xx( ) ,A f x A??? ? ? ?( ) .A g x A? ? ? ?返回 后頁 前頁 .)()()( ?? ?????? AxgxhxfA再由定理的條件，又得 這就證明了 0)( xxh 在點 的極限存在，并且就是 A . 返回 后頁 前頁 。)(l im)(l im)]()([l im)1(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ???。)(lim)(lim)()(lim)2(000xgxfxgxf xxxxxx ??? ??gfgf ?? , 在點 x0 的極限也 存在 , 且 都存在 , 則 ,0)(lim)3(0?? xgxx又若 在點 x0 的極限也存在 , gf則定理 （四則運算法則） 若 ,)(l i m0xfxx ? )(lim0xgxx ?.)(l i m)(l i m)()(l i m000 xgxfxgxfxxxxxx????并有 返回 后頁 前頁 這些定理的證明類似于數(shù)列極限中的相應(yīng)定理 , 這 就可以知道這些定理是顯然的 . 里將證明留給讀者 . 在下一節(jié)學過歸結(jié)原則之后 , 返回 后頁 前頁 二、范例 a r c t a n 1lim lim a r c t a n limx x xx xxx? ? ? ? ? ? ? ? ???π 0 0 .2??例 1 .a r c ta nl im x xx ???求π 1lim a r c t a n , lim 0 ,2xx x x? ? ? ? ???解 因 為 所 以返回 后頁 前頁 例 2 .1lim 0 ??????? xxx求有時又當 ,0?x因此由迫斂性得 。11l i m0 ????????? xxx解 由取整函數(shù)的性質(zhì)， .1111 xxx ????????? 0?x當,11lim)1(lim 00 ??? ?? ?? xx x由于時 , 有 ,111 ????????? xxx同理得 ,111 xxx ????????? 于是求得 .11l i m0????????? xxx.11lim0???????? xxx返回 后頁 前頁 例 3 求極限 π4lim ( t a n 1 ) .xxx??π π44πsi nsi n 4l i m t an l i m 1 ,πc os c os4xxxxx??? ? ?解 因為 所以 π4π πl(wèi)i m ( t an 1 ) 1 1 1 .44x xx? ? ? ? ? ? ?返回 后頁 前頁 例 4 .)1(1lim0 ??? aaxx求證有時當 ,Nn ? ,1111?? ????? ? nn aa特別又有 .1111?? ????? ? NN aa,1N??取 ,|0|0 時當 ???? x,1111?? ?????? ? NxN aaa.1l im 0 得證即 ?? xx a證 ,11lim,1lim ?????? nnnn aa因為 所以 ,0 N??? ?返回 后頁 前頁 001. l i m ( ) , l i m ( ) ,x x x xf x a g x?? ?設(shè) 存在 不存在 試問復(fù)習思考題 0002. li m ( ) , li m ( ) ,x x u ug x u f u A?? ??設(shè) 這 時 是 否 必 有0l i m ( ( ) ) ?xx f g x A? ?0li m ( ) ( ) ?xx f x g x?極 限 是 否 必 定 不 存 在
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