【導(dǎo)讀】更為豐富，它在理論和應(yīng)用上有著重要的地位.x{()}nfx一點都有數(shù)列的一個極限值與之相對應(yīng),函數(shù)列極限的定義:對每一固定的,任。,總存在正數(shù)N(注意:一般說來N值與?,x)表示三者之間的值都有關(guān),所以有時也用N(x?的依賴關(guān)系),使當(dāng)nN?任給不妨設(shè)當(dāng)時由于????只要取當(dāng)時,就有。當(dāng)和時則對任何正整數(shù)都有。函數(shù)列在區(qū)間外都是發(fā)散的.故所討論。這就證明了在(,1]上收斂,且極限就是(3){}nf1?每項導(dǎo)數(shù)或積分的極限.對這些更深刻問題的討論,必須對它在D上的收斂性提出更高的要求才行.對于不同的，相應(yīng)的就很不一樣,對中所有的都成立.

　　

【正文】 m ( ) . ( 4 )nnnn f x f xxx?? ???{ ( )}nfx ()fx例 1說明當(dāng) 收斂于 時 , 一致收斂性是極 限運算與積分運算交換的充分條件 , 不是必要條件 . {}nf [ , ]ab定理 (可微性 )設(shè) 為定義在 上的函數(shù)列 , 0 [ , ]x a b? {}nf {}nf [ , ]ab若 為 的收斂點 , 的每一項在 {}nf? [ , ]ab上有連續(xù)的導(dǎo)數(shù) , 且 在 上一致收斂 , 則 0l i m ( ) ,nn f x A?? ?設(shè) g nf? [ , ]ab證 為 在 上極限函數(shù) , {}nf [ , ]ab下面證明函數(shù)列 在區(qū)間 上收斂 , 且其極限 函數(shù)的導(dǎo)數(shù)存在且等于 g. 00( ) ( ) ( ) d .xn n nxf x f x f t t??? ?,nA??當(dāng) 時 右邊第一項極限為 第二項極限為,于是 0( )d .xx g t t? f 所以上式左邊極限存在 , 記為 0( ) lim ( ) ( ) d .xn xnf x f x A g t t??? ? ? ?由 g 的連續(xù)性及微積分學(xué)基本定理得 .fg??這就證明了等式 (4). 由定理條件 , 對任一 總有 [ , ],x a b?0x {}nf注 請注意定理中的條件 為 的收斂點的作用 . [ , ]ab {}nf在定理的條件下 , 還可推出在 上函數(shù)列 一 致收斂于 .f與前面兩個定理一樣 , 一致收斂是極限運算與求導(dǎo) 運算交換的充分條件 , 而不是必要條件 , 請看下例 . 例 2 函數(shù)列 221( ) ln( 1 ) , 1 , 2 ,2nf x n x nn? ? ?與 22( ) , 1 , 2 ,1nnxf x nnx? ???在 [0, 1] 上都收斂于 0, 由于 [ 0 , 1 ]1l i m s u p | ( ) ( ) | ,2nn x f x f x?? ? ?? ??{ ( ) } [ 0 , 1 ] ,nfx所 以 導(dǎo) 函 數(shù) 列 在 上 不 一 致 收 斂 但 有?l i m ( ) 0 [ l i m ( ) ] .nnnnf x f x? ? ? ?????在上述三個定理中 , 我們都可舉出函數(shù)列不一致收 斂但定理結(jié)論成立的例子 . 在今后的進一步學(xué)習(xí)中 (如實變函數(shù)論 )將討論使上述定理成立的較弱條件 , 但在目前情況下 , 只有滿足一致收斂的條件 , 才能 保證定理結(jié)論的成立 . 下面討論定義在區(qū)間 [ , ]ab上函數(shù)項級數(shù) ? ? ? ?12( ) ( ) ( ) ( 5 )nu x u x u x的連續(xù)性、逐項求積與逐項求導(dǎo)的性質(zhì) , 這些性質(zhì) 可根據(jù)函數(shù)列的相應(yīng)性質(zhì)推出 . 一致收斂函數(shù)項級數(shù)的基本性質(zhì) 定理 (連續(xù)性 ) 如果級數(shù) ??? 1)(nnxu 的各項 )( xun在區(qū)間 [ ba , ] 上都連續(xù) , 且 ??? 1)(nnxu 在區(qū)間 [ ba , ] 上一致收斂于)( xs , 則 )( xs 在 [ ba , ] 上也連續(xù) . 證 設(shè) xx ,0 為 ? ?ba , 上任意點．由)()()(),()()( 000 xrxsxsxrxsxs nnnn ????)()()()( 00 xrxrxsxs nnnn ???? (1) )()()()()()( 000 xrxrxsxsxsxs nnnn ??????? 級數(shù) ??? 1)(nn xu 一致收斂于 )( xs ，對 0?? ? ，必 ? 自然數(shù) )( ?NN ? ，使得當(dāng) Nn ? 時 ,對 ? ?ba , 上的一切 x 都有3)(??xrn (2) .3)( 0 ??xr n同樣有 故 )( xs n ( Nn ? ) 在點 0x 連續(xù)，(3) 0?? ? 當(dāng) ??? 0xx 時總有 3)()( 0??? xsxsnn由 (1)、 (2)、 (3)可見 , 對任給 0?? ，必有 0?? ，當(dāng) ??? 0xx 時，有 .)()( 0 ??? xsxs? 　 )( xs n 是有限項連續(xù)函數(shù)之和，所以 )( xs 在點 0x 處連續(xù)，　　　　　　　　　　　而 0x 在 [ ba , ] 上是任意的，因此 )( xs 在 [ ba , ] 上連續(xù)．()( ) ,.(),?nnnuxu x ISIuxSI? 定 理 指 出 : 如 果 級 數(shù) 的 每 一項 都 在 區(qū) 間 上 連 續(xù) 那 么 加 上 一 致 收 斂的 條 件 后 就 能 保 證 它 的 和 函 數(shù) 也 在 上 連 續(xù) : 在 每 個 都 連 續(xù) 的 前 提下 從 和 函 數(shù) 的 連 續(xù) 性 能 否 推 出 級 數(shù) 在 上 一現(xiàn) 在 反 過 來致 收 斂問00( l i m ( ) ) l i m ( ( ) )nnx x x xIu x u x?????一 一 般 來 說 , 答 案 是 否 定 的 . 但 如 果 考 慮 的 是正 項 級 數(shù) , 而 且 是 有 界 的 閉 區(qū) 間 , 答 案 則 是 肯定 的 . 定 理 告 訴 我 們 : 在 ,( 無 限 項 ) 求 和 運 算 與 求 極 限 運 算 可 以 交 換 順序致 收 斂 條即件 下,.定理 (逐項求積 ) 如果 函數(shù)項 級數(shù) ??? 1)(nnxu 的各項 )( xun在區(qū)間[ ba , ] 上都連續(xù) , 且 ??? 1)(nnxu 在區(qū)間 [ ba , ] 上一致收斂于 )( xs , 則 )( xs 在 [ ba , ] 上可以逐項積分 , 即 0 0 01( ) ( ) . . . ( ) . . . ( 4 )x x xnx x xs x d x u x d x u x d x? ? ? ?? ? ?其中 bxxa ??? 0 , 并且上 式右 端的 級數(shù) 在[ ba , ] 上也一致收斂 .證 ? 級數(shù) ??? 1)(nn xu 在 [ ba , ] 一致收斂于 )( xs , 由定理 , )( xs ， )( xrn都在 [ ba , ] 上連續(xù)，所以積分 ? xxdxxs0)( ， ?xx ndxxr0)( 存在 , 從而有 ?? ?? xx nxx dxxsdxxs00)()( ? xx n dxxr0)(.)(0?? xx n dxxr.)( abxr n ?? ?又由級數(shù)的一致收斂性 , 對任給正數(shù) ? 必有 ) ( ? N N ? 使得當(dāng) N n ? 時 , 對 [ b a , ] 上的一切 x , 都 有 ?? ? xx nxx dxxsdxxs 00 )()( ?? xx n dxxr0 )(0( ) .xxba? ?? ? ? ??根據(jù)極限定義，有 ? ??????????nixx nnxx nnxx dxxudxxsdxxs 1 000 )(lim)(lim)(即 ? ?????1 00)()(ixx ixx dxxudxxs由于 N 只依賴于 ? 而 與 xx ,0 無關(guān)， 所以級數(shù) ? ??? 1 0)(ixx idxxu 在 [ ba , ] 上一致收斂 .于是，當(dāng) Nn ? 時有定理 (逐項求導(dǎo) ) 如果函數(shù)項級數(shù) ??? 1)(nnxu 在 [ ba , ] 上收斂于和)( xs ，它的各項 )( xun都具有連續(xù)導(dǎo)數(shù) )( xun? ，并且級數(shù) ????1)(nnxu 在 [ ba , ] 上一 致 收 斂 ，則 級 數(shù)??? 1)(nnxu 在 [ ba , ] 上也一致收斂，且可逐項求導(dǎo)，即 ?? ????????? )()()()(21xuxuxuxsn ( ) ( ) .bbnnaau x dx u x dx????? 定 理 告 訴 我 們 : 在 , 逐 項 求 積 后求 和 等 于 求一 致 收 斂 條 件 下和 后 再 求 積 . 即注意 :級數(shù)一致收斂并不能保證可以逐項求導(dǎo) . 例如，級數(shù) ?? ????22222si n22si n1si nnxnxx在任何區(qū)間 ],[ ba 上都是一致收斂的 .逐項求導(dǎo)后得級數(shù) ,c os2c osc os 22 ?? ???? xnxx.,發(fā)散的都是所以對于任意值因其一般項不趨于零 x所以原級數(shù)不可以逐項求導(dǎo)． ( ( ) ) ( ( ) ) .nnddu x u xdx dx??? 定 理 告 訴 我 們 : 在 , 逐 項 求 導(dǎo) 后求 和 等 于 求一 致 收 斂 條 件 下和 后 再 求 導(dǎo) . 即2231( ) l n( 1 ) , 1 , 2 , ...( ) [ 0 , 1 ][ 0 , 1 ] , ,nnu x n x nnux? ? ??例 設(shè) 函 數(shù) 列證 明 函 數(shù) 項 級 數(shù) 在 上 一 致 收 斂 , 并 討論 其 和 函 數(shù) 在 上 的 連 續(xù) 性 可 積 性 可 微 性 . 本 節(jié) 六 個 定 理 的 意 義 不 只 是 檢 驗 函 數(shù) 列 或函 數(shù) 項 級 數(shù) 是 否 滿 足 關(guān) 系 式 ， 更 重 要 的 是 根 據(jù)定 理 的 條 件 ， 即 使 沒 有 求 出 極 限 函 數(shù) 或 和 函 數(shù) ，也 能 由 函 數(shù) 列 或 函 數(shù) 項 級 數(shù) 本 身 獲 得 極 限 函 數(shù)或 和 函 數(shù) 的 解 析 性 質(zhì) .23223 3 22, ( ) [ 0 , 1 ]1( ) ( 1 ) l n ( 1 ) , 1 , 2 , ...1 , l n ( 1 ) ,1 1 1( ) l n ( 1 ) , 1 , 2 , ...1( ) , ( )[ 0 , 1 ]nnnnnnn u xu x u n nnt t tu x n n nn n nu x u xn? ? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ?證 對 每 一 個 為 上 增 函 數(shù) , 所 以當(dāng) 時 因 為 所 以收 斂 且 為 的 優(yōu) 級 數(shù) 從 而在 上 一 致 收 斂 .2 2 22( ) [ 0 , 1 ] , ( ) ( ) [ 0 , 1 ]2 2 139。( ) , 1 , 2 , ...( 1 ) 2139。( ) , 39。( ) [ 0 , 1 ]( ) [ 0 , 1 ]nnnnnuxu x S xxxu x nn n x n nx nu x u xnSx? ? ? ????? ? ? 因 為 每 一 個 在 上 連 續(xù) , 所 以 由 定 理和 定 理 的 和 函 數(shù) 在 上連 續(xù) 且 可 積 , 又即 也 為 的 優(yōu) 級 數(shù) 從 而 在上 一 致 收 斂 . 由 定 理 知 在 上 可 微 . 從歷史上來看 ,本節(jié)介紹的一些結(jié)果對當(dāng)時的數(shù)學(xué)家也不是一下子都明白的 .19世紀(jì)的大數(shù)學(xué)家 Cauchy在他的 分析教程 中曾斷言 :收斂的連續(xù)函數(shù)項級數(shù)的和函數(shù)也是連續(xù)的 .后來 Abel在他的一篇關(guān)于二項式級數(shù)的長文章中指出了他的錯誤 . 作業(yè) 習(xí)題 9