【正文】 .1)( 處間斷在和函數(shù) ?xxs例 6 考察函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ?? ???????? ? )()()( 1232 nn xxxxxxx和函數(shù)的連續(xù)性． 函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)在 ],[ ba 上連續(xù)，并且級數(shù)在 ],[ ba 上收斂，其和函數(shù) 不一定 在 ],[ ba 上 連續(xù) ．同樣函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級數(shù)的和也 不一定 等于他們和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分． 結(jié)論 對什么級數(shù)，能從每一項(xiàng)的連續(xù)性得出和函數(shù)的連續(xù)性，從每一項(xiàng)的導(dǎo)數(shù)及積分所成的級數(shù)之和得出原來級數(shù)的和函數(shù)的導(dǎo)數(shù)及積分呢？ 問題 定義 2 { ( ) } ( )nnS x u x?設(shè) 是函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的部分和. { ( ) } ( ) ,nS x D S x函數(shù)列 若 在數(shù)集 上一致收斂于 則稱 ( ) ( ) ,nu x D S x函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上一致收斂于函數(shù) ?( ) .nu x D?或稱 在 上一致收斂 設(shè)有函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ??? 1)(nnxu ．如果對于任意給定的正數(shù)?，都存在著一個 只依賴于?的自然數(shù) N ，使得當(dāng) Nn ? 時，對區(qū)間 I 上的一切x，都有不等式 ( ) ( )ns x s x ??? 成立，則 稱 函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ??? 1)(nnxu 在區(qū)間 I 上 一致收斂 于和 )( xs ，也稱函數(shù)序列 )( xsn在區(qū)間 I 上一致收斂于 )( xs ． 定義 只要 n 充分大 )( Nn ? , 在區(qū)間 I 上所有曲線 )( xsyn?將位于曲線 ??? )( xsy 與 ??? )( xsy 之間 . x y o I??? )( xsy??? )( xsy)( xsy ?)( xsy n???幾何意義： 研究級數(shù) 1 1 1 1 11 2 1 1x x x x n x n? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?? ? ? ? 在區(qū)間 ),0[ ?? 上的一致收斂性 . 例 7 解 ,1)( nxxs n ???)0(01lim)(lim)( ????????????xnxxsxsnnn11( ) ( ) ( 0 )ns x s x xx n n? ? ? ? ? ? ??對于任給 0?? ，取自然數(shù) 則當(dāng) Nn ? 時，對于區(qū)間 ],0[ ?? 上的一切 x ，根據(jù)定義， 所給級數(shù)在區(qū)間 ],0[ ?? 上一致收斂于 .0)( ?xs ( ) ( )ns x s x ???1[ ],N??例 8 研究級數(shù) ?? ???????? ? )()()( 1232 nn xxxxxxx在區(qū)間 ( 0 , 1]內(nèi)的一致收斂性 . 解 該級數(shù)在區(qū)間 (0, 1) 內(nèi)處處收斂于和 0)( ?xs ，但并 不一致收斂 ． 對于任意一個自然數(shù) ,n 取 nnx 21? ，于是,21)( ?? nnnn xxs,0)( ?nxs但 1( ) ( ) .2n n ns x s x??從 而? 只要取21?? ，不論 n 多么大，在 ( 0 , 1 ) 總存在點(diǎn) nx ，因此級數(shù)在 ( 0, 1 )內(nèi)不一致收斂． 說明 從下圖可以看出 但 雖然函數(shù)序列 nn xxs ?)( 在 ( 0, 1 )內(nèi)處處 ,0)( ?xs )(xsn 在 ( 0, 1 )內(nèi)各點(diǎn)處收 收斂于 斂于零的“快慢”程度是不一致的． ( ) ( ) .n n ns x s x ???使 得o xy (1,1) nn xxsy ?? )(1?n2?n4?n 10?n30?n1 1 ( 0 , )bb?注 意 ： 對 于 任 意 正 數(shù) ， 這 級 數(shù) 在 上一 致 收 斂 ．注意 : 一致收斂性與所討論的區(qū)間有關(guān)． 由于函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性是由它的部分和函數(shù) 列來確定 , 所以由函數(shù)列一致收斂的定理，可推出相應(yīng)的有關(guān)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的定理 . 定理 ( 一致收斂的柯西準(zhǔn)則 ) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 上一致收斂的充要條件為 : 對任 , 存在正整數(shù) ? N ,nN 時?給的正數(shù) ，使當(dāng) 對一切 xD? ,p一切正整數(shù) 都有和 ? ??| ( ) ( ) | ,n p nS x S x ?或 ? ? ?? ? ? ?12| ( ) ( ) ( ) | .n n n pu x u x u x ?此定理中當(dāng) p=1 時 , 得到函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的一 個必要條件 . 推論 (函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的必要條件 ) 函數(shù)項(xiàng)級 數(shù) ? ()nu x D在 數(shù) 集 上 一 致 收 斂 的 必要條件是函數(shù) { ( )}nux D列 在 上一致收斂于零 . ( ) ( ) ,nu x D S x?設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上的和函數(shù)為 稱( ) ( ) ( )nnR x S x S x??( ) .nux?為函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 的余項(xiàng)定理 (余項(xiàng)法則 ) 函數(shù)項(xiàng)級數(shù) ()nux? 在數(shù)集 D 一致收 ()Sx斂于 的充要條件是li m su p | ( ) | li m su p | ( ) ( ) | x D x DR x S x S x? ? ? ???? ? ?0, [ , ] ( 1 )nnx a a a?????我們再來看例4 中的級數(shù) 若僅在上討論 , 則由 [ , ] [ , ]su p | ( ) ( ) | su p 1nnx a a x a axS x S xx? ? ? ?????? ? ? ?? 0 ( )1nana0[ , ] ( 1 , 1 )nnx a a可得級數(shù) 在 上一致收斂. 若在?????上討論這個級數(shù) , 則由 ? ? ? ????????? ? ????( 1 , 1 ) ( 1 , 1 )1su p | ( ) ( ) | su p111nnnxxnx nS x S xnxn??? ? ? ?? ? ??????( 1 ) ( )1nnnnn0( 1 , 1 )nnx????知道級數(shù) 在 內(nèi)不一致收斂.20( 1 )nnxx???? (0,1)例 9 討論函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上一致 收斂性 . 120( ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 )nknnkS x x x x x??? ? ? ? ??所以 ( ) l i m ( ) ( 1 )nnS x S x x??? ? ? ，于是 | ( ) ( ) | ( 1 ) ,nnS x S x x x? ? ?由 1( ( 1 ) ) ( 1 ) 0n n nx x n x n x??? ? ? ? ? 解得最大值點(diǎn) 0 1nxn? ?, 故 解 [ 0 , 1 ]su p | ( ) ( ) |nxS x S x??因此 20( 1 )nnxx???? 在 (0,1)上一致收斂 . 注 當(dāng)和函數(shù)容易求出時 , 余項(xiàng)準(zhǔn)則是比較好用的一種判別方法 . 1 011nnnn??????????0n?1n?2n?() 1S x x??( ) ( ) ( )111nnS x x x?? ? ?xy 1 1 O圖 13 5 三、函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂判別法 判別函數(shù)項(xiàng)級數(shù)的一致收斂性除了根據(jù)定義、柯西 準(zhǔn)則或余項(xiàng)準(zhǔn)則外 , 有些級數(shù)還可以根據(jù)級數(shù)一般 項(xiàng)的某些特性來判別 . 定理 (魏爾斯特拉斯判別法，或優(yōu)級數(shù)判別法 ) ( ) ,nu x D定義在數(shù)集 上? nM?設(shè)函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 為收 斂的正項(xiàng)級數(shù)， ,xD?若對一切 有| ( ) | , 1 , 2 , , ( 1 3 )nnu x M n??()nu x D?則函數(shù)項(xiàng)級數(shù) 在 上一致收斂.證 ,nM由假設(shè)正項(xiàng)級數(shù) 收斂 根據(jù)數(shù)項(xiàng)級數(shù)的柯 ?, 存在某正整數(shù) N, 使得當(dāng) n N 西準(zhǔn)則 , 任給正數(shù) ?及任何正整數(shù) p, 有 11| | .n n p n n pM M M M ?? ? ? ?? ? ? ? ? ?( 1 3 ) xD又由 式對一切 有 ?11| ( ) ( ) | | ( ) | | ( ) |n n p n n pu x u x u x u x? ? ? ?? ? ? ? ?根據(jù)函數(shù)項(xiàng)級數(shù)一致收斂的柯西準(zhǔn)則 , 級數(shù) ()nux?在 D 上一致收斂 . 1 .n n pMM ???? ? ? ? 魏爾斯特拉斯 （ Weierstrass 18151897） 德國數(shù)學(xué)家。 1 一致收斂性 一、函數(shù)列及其一致收斂性 設(shè) 12, , , , ( 1 )nf f f是一列定義在同一數(shù)集 E 上的函數(shù) ,稱為定義在 E 上的函數(shù)列 . (1) 也可記為 ?{ } , 1 , 2 , .nnf f n或以 0xE? 代入 (1), 可得數(shù)列 1 0 2 0 0( ) , ( ) , , ( ) , . ( 2 )nf x f x f x0x 0x如果數(shù)列 (2)收斂 , 則稱函數(shù)列 (1)在點(diǎn) 收斂 , 稱 為函數(shù)列 (1)的收斂點(diǎn) . 如果數(shù)列 (2)發(fā)散 , 則稱函數(shù) 列 (1)在點(diǎn) 0x 發(fā)散 . 當(dāng)函數(shù)列 (1)在數(shù)集 上每一 DE?點(diǎn)都收斂時 , 就稱 (1)在數(shù)集 D 上收斂 . 這時 D 上每 x { ( )}nfx一點(diǎn) 都有數(shù)列 的一個極限值與之相對應(yīng) , 根據(jù)這個對應(yīng)法則所確定的 D 上的函數(shù) , 稱為函數(shù) 列 (1)的極限函數(shù) . 若將此極限函數(shù)記作 f, 則有 l i m ( ) ( ) ,nn f x f x x D?? ??或 ( ) ( ) ( ) , .nf x f x n x D? ? ? ?N? ? xD?函數(shù)列極限的 定義 : 對每一固定的 , 任 , 總存在正數(shù) N(注意 : 一般說來 N值與 ?給正數(shù) 和 ?, x)表示三者之間 的值都有關(guān) , 所以有時也用 N( x ?的依賴關(guān)系 ), 使當(dāng) nN? 時 , 總有 | ( ) ( ) | .nf x f x ???使函數(shù)列 {}nf 收斂的全體收斂點(diǎn)集合 , 稱為函數(shù)列 {}nf 的 收斂域 . 例 1 ( ) , 1 , 2 , ,nnf x x n? ? ? ?設(shè) 為定義在( )上的 函數(shù)列 , 證明它的收斂域是 ( 1, 1]? , 且有極限函數(shù) 0, | | 1 ,()1 , 1.xfxx???? ?? 證 0 ( 1 ) , 0 | | 1 ,x??任給 不妨設(shè) 當(dāng) 時 由于? ? ? ?| ( ) ( ) | | | ,nnf x f x x????ln( , ) [ ] , ( , )l n | |N x n N xx???只 要 取 當(dāng) 時 , 就 有| ( ) ( ) | | | | | .nNnf x f x x x ?? ? ? ?0 1 , ,x x n??當(dāng) 和 時 則對任何正整數(shù) 都有| ( 0 ) ( 0 ) | 0nff ? ，? ? ?| ( 1 ) ( 1 ) | 0 .nff ?? ? ?式所表示的函數(shù) . | | 1 | | ( ) ,nx x n當(dāng) 時, 有? ? ? ? ? ?1,x當(dāng)時??又 1 , 1 , 1 , 1 ,??對 應(yīng) 的 數(shù) 列 為 顯然是發(fā)散的 . 所以 {}