【正文】 滑弧段所組成 ,它至 15 1?圖O xb()y f x?1x 2xa 3x 4xy收斂定理指出 , f 的傅里葉級數(shù)在點 x 處收斂于 在 f該點的左、右極限的算術(shù)平均值 ? ? ?( 0 ) ( 0 ) 。 15歲輟學(xué)到不來梅一家商行做學(xué)徒，業(yè)余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。當(dāng)時的哥廷根大學(xué)是世界數(shù)學(xué)的中心之一，一些著名的數(shù)學(xué)家如高斯在校執(zhí)教。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對概念的創(chuàng)造與想象。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克雷、維爾斯特拉斯，都全力的投入到分析的嚴(yán)密化工作中。 解析數(shù)論跨世紀(jì)的成果 19世紀(jì)數(shù)論中的一個重要發(fā)展是由狄利克雷開創(chuàng)的解析方法和解析成果的導(dǎo)入，而黎曼開創(chuàng)了用復(fù)解析函數(shù)研究數(shù)論問題的先例，取得跨世紀(jì)的成果。黎曼的這一工作既是對解析數(shù)論理論的貢獻，也極大地豐富了復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容。 在數(shù)學(xué)物理、微分方程等其他領(lǐng)域的豐碩成果 黎曼不但對純數(shù)學(xué)作出了劃時代的貢獻，他也十分關(guān)心物理及數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系 .他是對沖擊波作數(shù)學(xué)處理的第一人。 勒貝格在博韋讀完中學(xué)后，于 1894年入巴黎高等師范學(xué)校攻讀數(shù)學(xué)，并成為博雷爾的學(xué)生， 1897年獲該校碩士學(xué)位。他還是前蘇聯(lián)科學(xué)院的通訊院士。第一，黎曼積分中的被積函數(shù)只能是定義在 R的閉區(qū)間上（或 Rn的閉連通區(qū)域上）的實值函數(shù)，但實際上有用的函數(shù) f，其定義域可以是 R或 Rn的某些適當(dāng)?shù)淖蛹?” 勒貝格積分的理論是對積分學(xué)的重大突破。 ’” 但到了 20世紀(jì) 30年代，勒貝格積分論已廣為人知，并且在概率論、譜理論、泛函分析等方面獲得了廣泛的應(yīng)用?？傂７?3處，坐落于花都的于勒姆大街、朱丹大道和蒙突奇區(qū)。 3 的 (21) 式 , 即 由上面這個積分看到 ,被積函數(shù)是周期為 的函數(shù) , 2?11si n1 2c os , ( 9 )22 si n2nkntktt???????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d .π2 si n2nntS x f x t tt??????????這就得到 (8)式也稱為 f 的 傅里葉級數(shù)部分和的積分表達式 . 現(xiàn)在證明定理 (收斂定理 ).重新敘述如下 : [ π , π ] ,xf??光滑 , 則在每一點 的傅里葉級數(shù)收斂 于 f 在點 x 的左、右極限的算術(shù)平均值 ,即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab f其中 為 的傅里葉系數(shù) . f [ π, π]?定理 若以 為周期的函數(shù) 在 上按段 2π證 只要證明在每一點 x 處下述極限成立 : ( 0 ) ( 0 )lim ( ) 0 ,2 nnf x f x Sx??? ? ??? ??????ππ1si n( 0 ) ( 0 ) 1 2l i m ( ) d 0.2 π2 si n2nntf x f xf x t tt????????? ? ? ??? ? ??????即 或證明同時 有 π01si n( 0 ) 1 2l i m ( ) d 0, ( 10 )2 π2 si n2nntfxf x t tt???? ???????? ??? ? ??????0π1si n( 0 ) 1 2li m ( ) d 0. ( 11 )2 π2 si n2nntfxf x t tt????? ?????? ??? ? ??????與 先證明 (10) 式 . 對 (9) 式積分后得到 ππ11si n1 1 12d c os d 1 ,π π 22 si n2nknxx kx xx????????????? ? ????????由于上式左邊為偶函數(shù) , 因此兩邊乘以 ( 0 )fx ? 后 又得到 π01si n( 0 ) 1 2( 0 ) d .2 π2 si n2ntfxf x tt?????? ?????π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] d 0. ( 12 )π2 si n2nntf x f x t tt?????????? ? ? ??( ) ( 0 )()2 si n2f x t f xtt? ? ? ???從而 (10)式可改寫為 令 ( ) ( 0 ) 2, ( 0, π ].si n2tf x t f xttt? ? ???? ? ?????0l i m ( ) ( 0 ) 1 ( 0 ) .t t f x f x??? ??? ? ? ? ? ? ?由 167。 無論在哪一階段，高師都與時代保持著高度的默契 ,人才輩出 ,如開生物學(xué)新紀(jì)元的亞雷斯和巴斯德，存在主義先鋒薩特，自由主義戰(zhàn)士雷蒙 在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的有：勒貝格函數(shù)、勒貝格測度、勒貝格積分、勒貝格積分和、勒貝格空間、勒貝格面積、勒貝格準(zhǔn)則、勒貝格數(shù)、勒貝格點、勒貝格鏈、勒貝格譜、勒貝格維數(shù)、勒貝格分解、勒貝格分類、勒貝格不等式等，而以他的姓氏命名的定理有多種。勒貝格的理論 ,不僅是對積分學(xué)的革命，而且也是傅里葉級數(shù)理論和位勢理論發(fā)展的轉(zhuǎn)折點。正是勒貝格在 20世紀(jì)初開創(chuàng)的這些工作為掃除這些障礙提供了理論工具。于是按黎曼意義不可積的函數(shù) ,在勒貝格意義下卻變得可積。從 1906年起先后在普瓦蒂埃大學(xué)、巴黎大學(xué)、法蘭西學(xué)院任教， 1919年晉升為教授。勒貝格的父親是一名印刷廠職工，酷愛讀書，很有教養(yǎng)。 黎曼在 1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強調(diào)說，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學(xué)的一些定理。 在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。 柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的；黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的。 1854年，黎曼為了取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，對全體教員作了一次演講。 l851年，黎曼獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位； l854年被聘為哥廷根大學(xué)的編外講師； 1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。貝塞爾的主要貢獻在天文學(xué)，以 《 天文學(xué)基礎(chǔ) 》 （ 1818）為標(biāo)志發(fā)展了實驗天文學(xué) ，還編制基本星表 ，測定恒星視差 ,預(yù)言伴星的存在，導(dǎo)出用于天文計算的貝塞爾公式 .他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問題提供了重要工具。 當(dāng) 時 , 有 ???? ???12 ( 1 c os ) 1 0 1si n .π 2 2nnh nhn15 11?圖Oyx22?6? 620 , 0 , 1 , 2 , ,nan??? ? ?? 202 π 4sin d c o s π22 πn nxb x x nn?? ? ?14 ( 1 ) , 1 , 2 , .π n nn()f x x? (0, 2)例 4 把 在 內(nèi)展開成 : (i) 正弦級數(shù) 。傅里葉級數(shù)、傅里葉分析等理論均由此創(chuàng)始。 傅里葉 17歲時（ 1785）回鄉(xiāng)教數(shù)學(xué) ,1794到巴黎 ,成為巴黎高等師范學(xué)校的首批學(xué)員 ,次年到巴黎綜合工科學(xué)校執(zhí)教。 1 傅里葉級數(shù) 傅里葉 (Fourier)法國數(shù)學(xué)家及物理學(xué)家。 12歲由一位主教送入地方軍事學(xué)校讀書。 1807年向巴黎科學(xué)院呈交 《 熱的傳播 》論文 ,推導(dǎo)出著名的熱傳導(dǎo)方程 ,并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示 ,從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。2f x f x而當(dāng) f 在點 x 連續(xù)時 ,則有 ? ? ? ?( 0 ) ( 0 ) ( ) ,2f x f x fx即此時 f的傅里葉級數(shù)收斂于 ()fx. 這樣便有 上按段光滑 , 則 f 的傅里葉級數(shù)在 ( , )?? ? ?上收斂 于 f . 推論 若 f 是以 為周期的連續(xù)函數(shù) , 且在 [ π, π]?2π所以 系數(shù)公式 (10)中的積分區(qū)間 [ π, π]? 可以改為長 ?????????2 π2 π1( ) c os d 0, 1 , 2, ,π( 10 )1( ) si n d 1 , 2, ,πcn ccn ca f x n x x nb f x n x x n其中 c 為任何實數(shù) . 注 2 在具體討論函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式時 , 經(jīng)常 ( π, π]? [ π, π)?只給出函數(shù)在 (或 )上的解析式 , 但 注 1 根據(jù)收斂定理的假設(shè) ,f 是以 為周期的函數(shù) , 2πna nb度為 的任何區(qū)間 , 而不影響 , 的值 : 2π應(yīng)理解為它是定義在整個數(shù)軸上以 2π 為周期的函 ( π, π]? ( π, π]?數(shù) , 即在 以外的部分按函數(shù)在 上的對 應(yīng)關(guān)系做 周期延拓 . 也就是說函數(shù)本身不一定是定 義在整個數(shù)軸上的周期函數(shù) , 但我們認(rèn)為它是周期 函數(shù) . 如 f 為 ( π, π]? 上的解析表達式 , 那么周期延拓 后的函數(shù)為 ( ) , ( π , π ],? ()(2 π ) , ( ( 2 1 ) π , ( 2 1 ) π ],1 , 2, .f x xfxf x k x k kk???? ?? ? ? ??? ? ?如圖 152所示 . 因此當(dāng)籠統(tǒng)地說函數(shù)的傅里葉級數(shù) 時就是指函數(shù) ?f 的傅里葉級數(shù) . 例 1 設(shè) ????? ? ? ??,0 π,()0, π 0,xxfxx求 f 傅里葉級數(shù)展 1 5 2 ( )y f x??圖 實 線 與 虛 線 的 全 體 表 示O x()y f x?π3π? π? 3π 5πy開式 . 解 函數(shù) f 及其周期延拓后的圖像如圖 153 所示 , 顯然 f 是按段光滑的 . 15 3?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3π 5π2π? 2π 4ππ故由傅里葉級數(shù)收斂定理 , 它可以展開成傅里葉級 數(shù) . 由于 ππ0 π011 π( ) d d ,π π 2a f x x x x?? ? ???當(dāng) n≥ 1時 , πππ011( ) c o s d c o s dππna f x nx x x nx x?????π π π20 0 01 1 1sin sin d c o sπ π π||x nx nx x nxn n n? ? ??2221( c os π 1) ππnn nnn? ??? ? ? ???， 當(dāng) 為 奇 數(shù) 時 ,0 ， 當(dāng) 為 偶 數(shù) 時 ,?????πππ011( ) s in d s in dππnb f x nx x x nx x? ? ? ?ππ0011c o s c o s dππ |x nx nx xnn???? ?1 π2 0( 1 ) 1 c os dπnn x xnn1( 1 ),nn???( , )?? ?所以在開區(qū)間 上 π 2 1( ) c os si n si n 24 π221c os 3 si n 3 .9 π3f x x x xxx??? ? ? ?????????????在 x ? ??時 , 上式右邊收斂于 ( π 0 ) ( π + 0 ) π 0 π .2 2 2ff? ? ? ???于是 , 在 [ , ]?? ?上 f 的傅里葉級數(shù)的圖象如圖 154 所示 ( 注意它與圖 153 的差別 ). 15 4?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3? 5π2π? 2π 4πππ2例 2 將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) : ? ??????? ? ? ??22,0 π,( ) 0 , π, π 2 π .xxf x xxx解 f 及其周期延拓的 圖形