【正文】 π .2 2 2ff? ? ? ???于是 , 在 [ , ]?? ?上 f 的傅里葉級數(shù)的圖象如圖 154 所示 ( 注意它與圖 153 的差別 ). 15 4?圖Oyx()y f x?π3π? π? 3? 5π2π? 2π 4πππ2例 2 將下列函數(shù)展開成傅里葉級數(shù) : ? ??????? ? ? ??22,0 π,( ) 0 , π, π 2 π .xxf x xxx解 f 及其周期延拓的 圖形如圖 155 所示 . 顯然 f 是按段光滑的 , 因此可以展開成傅里 葉級數(shù) . 15 5?圖Oyx()y f x?3π? π? 3π2π? 2ππ10? 0c? [0, 2 ]?在 ( )中令 , 在 上計算傅里葉系數(shù)如下 : 2 π0 01 ( )dπa f x x? ?? ? ???π 2 π220 π11 d ( ) dππx x x x222π 7 π 2 π ,33? ? ? ?? ? 2 π01 ( ) c o s dπna f x nx x? ? ???π 2 π220 π11 c o s d ( ) c o s dππx nx x x nx x????? ? ?????????π23201 2 2s i n c osπxx n x n xn n n24 [ ( 1 ) 1 ] ,nn? ? ?? ? 2 π01 ( ) sin dπnb f x nx x??? ? ?????2 π232π1 2 2s i n c osπxx n x n xn n n? ? ???π 2 π220 π11 sin d ( ) sin dππx nx x x nx xπ23201 2 2c os s i nπxx n x n xn n n????? ? ? ????????? 2 π232π1 2 2c os s i nπxx n x n xn n n??? ? ? ????????? ??? ? ? ? ????? ??????2232 π π 2 1 ( 1 ) .πnn n n所以當 ( 0 , π )( π ,2 π )x ? 時 , ???? ? ? ? ????2214() π [ ( 1 ) 1 ] c o snnf x nxn??? ? ? ? ? ?????22211π 8 c o s c o s 3 c o s 535x x x? ? ????? ?? ? ? ? ? ??????? ??? ?2232 π π 2 1 ( 1 ) si nπn nxn n n22232 π 3 π 4(3 π 4 ) sin sin 2 sin 3π 2 3 3x x x? ??? ? ? ? ?? ?????2πsi n 4 .4 x ??? ??當 πx ? 時 , 由于 ( π 0 ) ( π 0) 0,2ff? ? ? ?所以 ??? ? ? ? ? ?????22 2 21 1 10 π 8 . ( 14 )1 3 5? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?221( ( 0 0 ) ( 0 0 ) )211( ( 2 π 0 ) ( 0 0 ) ) ( 4 π 0 ) 2 π ,22ffff因此 當 0x ? 或 時 , 由于 2π222 2 21 1 12 π π 8 . ( 15)1 3 5??? ? ? ? ? ? ?????由 (14)或 (15)都可推得 ? ? ? ?22 2 21 1 1 π .1 3 5 8注 上式提供了一個計算 π 的方法 . 還可以找出其他 展開式來計算 π , 關(guān)鍵是收斂速度要快 . 例 3 在電子技術(shù)中經(jīng)常用到矩形波 (如圖 156所示 ), 反映的是一種復雜的周期運動 , 用傅里葉級數(shù)展開 后 , 就可以將復雜的矩形波看成一系列不同頻率的 簡諧振動的疊加 . ()fx 2π設 是周期為 的矩形波函數(shù) ( 圖 156 ), O xyππ4?π4?15 6圖π?[ , )?? ?在 上的表達式為 π, π 0,4()π,0 π .4xfxx?? ? ? ???? ?? ????求該矩形波函數(shù)的傅里葉展開式 . 解 由于 ()fx是奇函數(shù) , 積分區(qū)間是對稱區(qū)間 [ π, π]? , 所以 π0 π1 ( ) d 0 ,πa f x x????π ππ 012 π( ) sin d sin dπ π 4nb f x nx x nx x?????π01 1 1c os ( 1 c os π )22 n x nnn? ? ? ? ?1, 1 , 3, 5, ,0 , 2, 4, 6, .nnn???? ?? ??于是當 π , 0 , πx ?? 時 , ππ1 ( ) c o s d 0,πna f x nx x??11( ) sin sin 3 sin( 2 1 ) .3 2 1f x x x n xn? ? ? ? ? ??當 π , 0 , πx ?? 時 , 級數(shù)收斂到 0( 實際上級數(shù)每一項都為 0 ). 21012xy36 / 5 s i n ( x )/ ? + . . . + 36 / 65 s i n ( 13 x )/ ?O xyππ4?π4?15 7圖π??1n?2n?7n例 4 將函數(shù)????????????xxxxxf0,0,)( 展開為傅里 葉級數(shù) . 解 所給函數(shù)滿足收斂定理的條件 . 拓廣的周期函數(shù)的傅里葉級數(shù)展開式在 收斂于 . )(xf],[ ???xyo ??? ?2??2?? ????? nx d xxfa n co s)(10011( ) c o s c o sx n x d x x n x d x?????? ? ???)1( co s22 ??? nxn ]1)1[(22 ???? nn? ????? dxxfa )(100011() x d x x d x?????? ? ???,??????????????????,2,1,2,0,2,1,12,)12(42kknkknk? ????? nx d xxfb n s in)(10011( ) s in s inx n x d x x n x d x?????? ? ???,0??????????12 )12co s ()12(142)( n xnnxf()x??? ? ?所求函數(shù)的傅立葉級數(shù)展開式為 ),2,1( ??n2141 c o s ( 2 1 ) ,2 ( 2 1 )nnn??????? ? ? ???當 πx ?? 時 , 由于 ? ? ? ?? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff當 πx ? 時 , 由于 ??? ? ? ? ?1(( π + 0 ) ( π 0 ) )21(( π + 0 ) ( π 0 ) ) π ,2ffff21410 c o s ( 2 1 ) 0 ,2 ( 2 1 )nnn????? ? ? ???2221118 3 5? ? ? ? ?即0,x ?當 時 由 于? ? ? ? ?11( ( 0 + 0 ) ( 0 0 ) ) ( 0 0 ) 0 ,22ff利用傅里葉級數(shù)展開式可求出幾個特殊級數(shù)的和 ,)12c o s ()12( 142)(12?????????nxnnxf?,4131211 222 ???????設21 22111,3 5 8?? ? ? ? ? ?,614121 2222 ?????? ,4131211 2223 ???????,44212???? ???? ,243212??? ???212 ,6?? ? ?? ? ? 23 1 2 .12?? ? ?? ? ?四、小結(jié) ，了解傅里葉級數(shù)的收斂定理； 數(shù)． 作業(yè) 習題 7 上節(jié)討論了以 2? 為周期 , 或定義在 (?, ?) 上 ,然后作 2?周期延拓的函數(shù)的傅里葉展開式 . 本節(jié)討論更有一般性的以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉展開式 , 以及偶函數(shù)和奇函數(shù)的傅里葉展開式 . 167。 1 習題 4知道 , 由級數(shù) (9)一致收斂 ,可 得級數(shù) (11)也一致收斂 . 于是對級數(shù) (11)逐項求積 , 有 ??ππ ( ) c os df x kx xπ π0π π1c os d ( c os c os d2 nna kx x a n x kx x??? ??? ???由三角函數(shù)的正交性 , 右邊除了以 ka 為系數(shù)的那一 項積分 ? ??π 2π c os d πkx x外 ,其他各項積分都等于 0,于是 ππ ( ) c os d π ( 1 , 2, ) .kf x kx x a k? ???ππ sin c os d ) .nb n x kx x?? ?即 ????ππ1 ( ) c o s d ( 1 , 2 , ) .πka f x k x x k同理 ,(9)式兩邊乘以 sin kx,并逐項積分 , 可得 ππ1 ( ) s in d ( 1 , 2 , ) .πkb f x k x x k????2π [ , ]???由此可知 , 若 f 是以 為周期且在 上可積的 na nb函數(shù) , 則可按公式 (10)計算出 和 , 它們稱為函數(shù) f (關(guān)于三角函數(shù)系 (5) ) 的 傅里葉系數(shù) ,以 f 的傅里 葉系數(shù)為系數(shù)的三角級數(shù) (9)稱為 f (關(guān)于三角函數(shù) 系 ) 的 傅里葉級數(shù) , 記作 01( ) ( c os si n ). ( 12 )2 nnnaf x a n x b n x?????這里記號 “ ~”表示上式右邊是左邊函數(shù)的傅里葉級 數(shù) , 由定理 : 若 (9)式右邊的三角級數(shù)在整 個數(shù)軸上一致收斂于和函數(shù) f , 則此三角級數(shù)就是 f 的傅里葉級數(shù) ,即此時 (12)式中的記號 “ ~”可換為 函數(shù) f 出發(fā) , 按公式 (10)求出其傅里葉系數(shù)并得到 傅里葉級數(shù) (12) , 這時還需討論此級數(shù)是否收斂 . 如果收斂 , 是否收斂于 f 本身 ? 等號 . 然而 , 若從以 為周期且在 [ π, π]? 上可積的 2π[ π, π]? [ π , π ],x ??函數(shù) f 在 上按段光滑 , 則在每一點 f 的傅里葉級數(shù) (12)收斂于 f 在點 x 的左、右極限的 算術(shù)平均值 , 即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab其中 為 f 的傅里葉系數(shù) . 定理的證明將在 167。 一、三角級數(shù) 1822年在代表作 《 熱的分析理論 》 中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題 ,成為分析學在物理中應用的最早例證之一 ,對 19世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。 1807年向巴黎科學院呈交 《 熱的傳播 》論文 ,推導出著名的熱傳導方程 ,并在求解該方程時發(fā)現(xiàn)解函數(shù)可以由三角函數(shù)構(gòu)成的級數(shù)形式表示 ,從而提出任一函數(shù)都可以展成三角函數(shù)的無窮級數(shù)。后又任法蘭西學院終身秘書和理工科大學校務委員會主席。 1798年隨拿破侖遠征埃及時任軍中文書和埃及研究院秘書 ,1801年回國后任伊澤爾省地方長官。16歲就獨立發(fā)現(xiàn)笛卡爾符號法則的一個新證法。 12歲由一位主教送入地方軍事學校讀書。傅立葉級數(shù)（三角級數(shù)）的創(chuàng)始人。1768年 3月 21日生于歐塞爾 ,1830年 5月 16日卒于巴黎。 Chapt 15 傅