【正文】 都產(chǎn)生了巨大的影響。 1849年重回哥廷根大學攻讀博士學位，成為高斯晚年的學生。1812年當選為柏林科學院院士。 5 時級數(shù)收斂于 二、偶函數(shù)與奇函數(shù)的傅里葉級數(shù) [ , ]ll? ( ) c o sf x nx的 偶函數(shù) , 則在 上 , 是偶函數(shù) , ( ) s inf x nx是奇函數(shù) . 因此 , f 的傅里葉系數(shù) (4)是 01 π( ) c os d2 π( ) c os d , 0, 1 , 2, , ( 6 )1 π( ) si n d 0, 1 , 2, .lnlllnlnxa f x xllnxf x x nllnxb f x x nll????????? ???? ? ??????設 f 是以 2l 為周期的偶函數(shù) , 或是定義在 上 [ , ]ll?于是 f 的傅里葉級數(shù)只含有余弦函數(shù)的項 , 即 其中如 (6) 式所示 (7) 式右邊的級數(shù)稱為余弦級數(shù) . 01π( ) c os , ( 7 )2 nna nxf x al??? ?同理 , 若 f 是以 2l 為周期的奇函數(shù) , 或是定義在 [ , ]ll? 上的奇函數(shù) , 類似可推得 01 π( ) c os d 0, 0, 1 , 2, ,( 8 )2 π( ) si n d , 1 , 2, .lnllnnxa f x x nllnxb f x x nll??? ? ? ??????????所以當 f 是奇函數(shù)時 , 它的傅里葉級數(shù)只含有正弦 函數(shù)的項 , 即 1( ) si n , ( 9 )nnnxf x bl????其中 nb 如 (8) 式所示 . (9) 式右邊的級數(shù)稱為 正弦級 數(shù) . 若 l ??, 則偶函數(shù) f 所展開成的余弦函數(shù)為 01( ) c os , ( 10 )2 nnaf x a n x??? ?其中 當且 f 為奇函數(shù)時 , 則它展成的正弦級數(shù)為 ??? π02 ( ) c o s d , 0 , 1 , 2 , .πna f x nx x n1( ) si n , ( 12 )nnf x b n x???其中 π02 ( ) sin d , ( 1 3 )πnb f x nx x? ?[0, ]? [0, ]l注 如何將定義在 上 (或更一般地 上 )的函 數(shù)展開成余弦級數(shù)或正弦級數(shù) ? 方法如下 : 首先將 定義在 [0, ]? 上的函數(shù)作偶式延拓或奇式延拓到 [ π, π]? 上 (如圖 158(a)或 (b)). 然后求延拓后函數(shù)的 傅里葉級數(shù) , 即得 (10)或 (12)形式 . 圖 158 (a) 偶式延拓 (b) 奇式延拓Oyxπ? πOyxπ?π也可以不作延拓直接使用公式 (11)或 (12), 計算出它 的傅里葉系數(shù) , 從而得到余弦級數(shù)或正弦級數(shù) . 例 2 設函數(shù) ? ? ? ?( ) | s in | , π π ,f x x x求 f 的傅里葉級數(shù)展開式 . 解 f 是 [ π, π]? 上的 偶函數(shù) , 圖 159 是 這函數(shù)及其周期延 拓的圖形 .由于 f 是 15 9?圖Oyxππ? 3π2π? 2π按段光滑函數(shù) , 因此可以展開成傅里葉級數(shù) , 而且 這個級數(shù)為余弦級數(shù) . 由 (10)式 (這時可把其中 “ ~” 01| si n | c os ,2 nnax a n x???? ?其中 ???0 024sin d ,ππa x x?π1 02 sin c o s d 0,πa x x x???改為“ ” )知道 ?ππ0022| s in | c o s d s in c o s dππna x nx x x nx x????π021 [ sin( 1 ) sin( 1 ) ] dπ2 n x n x x? ? ? ??? ? ? ??212 [ c o s( 1 ) π 1 ] ( 1 )π1 nnn20, 3, 5, ,41, 2, 4, .π 1nnn???? ??????所以 ???? ?? 212 1 4| si n | c os 2π π 4 1mx m xm????? ? ? ? ? ? ???? ???? 212 c os 21 2 .,π 4 1mmx xm???????? ???? 21210 1 2 .π 4 1m m1 1 1 1 .2 1 3 3 5 ( 2 1 ) ( 2 1 )mm? ? ? ? ?? ? ? ?0x ?當 時 , 有 由此可得 1 , 0 ,1( ) , ,20, πxhf x x hhx?????????????解 函數(shù) f 如圖 1510所示 ,它是按段光滑函數(shù) , 因而 可以展開成正弦級數(shù) (12),其系數(shù) ????π0022( ) s in d s in dππ hnb f x nx x nx x例 3 求定義在 上的函數(shù) [0, π](其中 0 h )的正弦展開式 . πOyxh π11510 圖 02 c os 2 ( 1 c os ) .π πhnxnhnn???? ? ?????所以 ???? ? ? ? ??12 ( 1 c os )( ) si n , 0 , π.π nnhf x n x x h h xn0x ? xh?當 時 , 級數(shù)的和為 0。 1822年在代表作 《 熱的分析理論 》 中解決了熱在非均勻加熱的固體中分布傳播問題 ,成為分析學在物理中應用的最早例證之一 ,對 19世紀數(shù)學和理論物理學的發(fā)展產(chǎn)生深遠影響。16歲就獨立發(fā)現(xiàn)笛卡爾符號法則的一個新證法。 Chapt 15 傅里葉級數(shù) 教學目標： 1. 熟練掌握如何求函數(shù)的傅里葉級數(shù)； 2. 掌握以 2l為周期的函數(shù)的展開式； 3. 掌握收斂定理的證明 . 一個函數(shù)能表示成冪級數(shù)給研究函數(shù)帶來便利 , 但對函數(shù)的要求很高 (無限次可導 ). 如果函數(shù)沒有這么好的性質 , 能否也可以用一些簡單而又熟悉的函數(shù)組成的級數(shù)來表示該函數(shù)呢 ? 這就是將要討論的傅里葉級數(shù) . 傅里葉級數(shù)在數(shù)學、物理學和工程技術中都有著非常廣泛的應用 . 167。13歲時開始學習數(shù)學，即對數(shù)學產(chǎn)生了濃厚的興趣。 傅里葉在 1811年首先給出了級數(shù)收斂及級數(shù)和的正確定義 ,并指出了拉格朗日的一個錯誤，通項趨近于零并非級數(shù)收斂的充要條件 ,而僅是必要條件。 2 以 2l 為周期的函數(shù)的展開式 一、以 2l為周期的函數(shù)的傅里葉級數(shù) 設 f 是以 2l 為周期的函數(shù) , 通過變量替換 : π ,πx l ttxl ??或??? ????( ) .πl(wèi)tF t ff [ , ]ll? F 若 在 上可積 , 則 在 [ π, π]?上也可積 , 這時函數(shù) F 的傅里葉級數(shù)展開式是 : 01( ) ( c os si n ) , ( 1 )2 nnnaF x a n x b n x?????就可以將 f 變換成以 為周期的關于變量 t 的函數(shù) 2π其中 (2) ππππ1( ) c os d , 1 , 2, ,π1( ) si n d t , 1 , 2, .πnna F t n t t nb F t n t n????????? πxt l ????????( ) ( ) .πl(wèi)tF t f f x因為 , 所以 于是由 (1)與 (2)式分別得 01π π( ) ( c os si n ), ( 3 )2 nnna n x n xf x a bll?????與 這里 (4)式是以 2l 為周期的函數(shù) f 的傅里葉系數(shù) , (3) 式是 f 的傅里葉級數(shù) . 若函數(shù) f 在 [ , ]ll? 上按段光滑 , 則同樣可由收斂定理 知道 1 π( ) c os d , 0, 1 , 2, ,1 π( ) si n d , 1 , 2, 3, .lnllnlnxa f x x nllnxb f x x nll????????(4)( 0 ) ( 0 )2f x f x? ? ?例 1 將函數(shù) 0, 5 0,()3, 0 5xfxx? ? ???? ???展開成傅里葉級數(shù) . 01π π( c os si n ). ( 5 )2 nnna n x n xabll??? ? ???( 5 , 5 ) ,f由 于 在 上 按 段 光 滑 因 此 可解 以 展 開 成 傅里葉級數(shù) .根據(jù) (4) 式 ,有 05501 π 1 π0 c o s d 3 c o s d5 5 5 5nn x n xa x x?? ? ???5035 πsin 0, 1 , 2, ,5 π5nx nn? ? ? ?550 5011 ( ) d 3 d 3 ,55a f x x x?? ? ???501 π3 sin d55nnxbx? ????? ? ?????5035 π 3 ( 1 c os π )c os5 π 5 πn x nnn?? ? ???? ?? ???6, 2 1 , 1 , 2, ,( 2 1 ) π0, 2 , 2 1 , 2, .n k kkn k k代入 (5)式 , 得 ??????? 13 6 ( 2 1 ) π( ) si n2 ( 2 1 ) π5kkxfxk??? ? ? ? ?????36 π 1 3 π 1 5 πsi n si n si n .2 π 5 3 5 5 5x x x( 5 , 0 ) ( 0 , 5 ) .x ??這里 0x ? 當 和 177。 1810年任柯尼斯堡天文臺臺長，直至逝世。 1847年，黎曼轉到柏林大學學習，成為雅可比、狄利克雷、施泰納、艾森斯坦的學生。 復變函數(shù)論的奠基人 柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認的復變函數(shù)論的主要奠基人，而且后來證明在處理復函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質的，柯西和黎曼的思想被融合起來，而維爾斯特拉斯的思想可以從柯西 —黎曼的觀點推導出來。 1854年黎曼為取得哥廷根大學編外講師的資格，遞交了一篇論文 《 關于利用三角級數(shù)表示一個函數(shù)的可能性 》 。這是一篇不到十頁、內(nèi)容極其深刻的論文，他將素數(shù)的分布的問題歸結為函數(shù)的問題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。還有一些看起來簡單又長期得不到解決的問題：如哥尼斯堡七橋問題、四色問題，這些促使了人們對組合拓撲學的研究。 Lebesgue 勒貝格是法國數(shù)學家。 1902年在巴黎大學通過博士論文答辯 ,取得哲學博士學位。 勒貝格的成名之作是他的論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 （ 1902年）和兩本專著 《 論三角級數(shù) 》 （ 1903年）、 《 積分與原函數(shù)的研究 》 （ 1904年）在 《 積分 ,長度 ,面積 》 中 ,第一次闡明了他關于測度和積分的思想。第三，許多收斂的黎曼函數(shù)序列，其極限函數(shù)卻不是黎曼可積的，即使是黎曼可積的，但積分與求極限的過程也不是隨便可交換的。 美國數(shù)學史家克蘭說 :“勒貝格的工作是本世紀的一個偉大貢獻 ,確實贏得了公認 ,但和通常一樣 ,也并不是沒有遭到一定的阻力的 .”數(shù)學家埃爾米特曾說 : “我懷著驚恐的心情對不可導函數(shù)的令人痛惜的禍害感到厭惡 .”當勒貝格寫一篇討論不可微曲面 《 關于可應用于平面的非直紋面短論 》 論文 ,埃爾米特就極力阻止它發(fā)表 .勒貝格從 1902年發(fā)表第一篇論文 《 積分 ,長度 ,面積 》 起 ,有近十年的時間沒有在巴黎獲得職務 ,直到 1910年 ,才被同意進入巴黎大學任教。他的工作開辟了分析學的新時代，對 20世紀數(shù)學產(chǎn)生了極為深遠的影響。 經(jīng)過 200多年的發(fā)展 ,巴黎高等師范學校在法國可算是家喻戶曉，尤其是對于那些求知若渴的人們，這里既是知識的海洋，又是科技發(fā)展的