【正文】 1 π 1 π0 c o s d 3 c o s d5 5 5 5nn x n xa x x?? ? ???5035 πsin 0, 1 , 2, ,5 π5nx nn? ? ? ?550 5011 ( ) d 3 d 3 ,55a f x x x?? ? ???501 π3 sin d55nnxbx? ????? ? ?????5035 π 3 ( 1 c os π )c os5 π 5 πn x nnn?? ? ???? ?? ???6, 2 1 , 1 , 2, ,( 2 1 ) π0, 2 , 2 1 , 2, .n k kkn k k代入 (5)式 , 得 ??????? 13 6 ( 2 1 ) π( ) si n2 ( 2 1 ) π5kkxfxk??? ? ? ? ?????36 π 1 3 π 1 5 πsi n si n si n .2 π 5 3 5 5 5x x x( 5 , 0 ) ( 0 , 5 ) .x ??這里 0x ? 當(dāng) 和 177。 當(dāng) 時(shí) , 有 ???? ???12 ( 1 c os ) 1 0 1si n .π 2 2nnh nhn15 11?圖Oyx22?6? 620 , 0 , 1 , 2 , ,nan??? ? ?? 202 π 4sin d c o s π22 πn nxb x x nn?? ? ?14 ( 1 ) , 1 , 2 , .π n nn()f x x? (0, 2)例 4 把 在 內(nèi)展開(kāi)成 : (i) 正弦級(jí)數(shù) 。 3 收斂定理的證明 本節(jié)來(lái)完成對(duì)傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理的證明 , 先 證明兩個(gè)預(yù)備定理 . 預(yù)備定理 1 (貝塞爾 (Bessel)不等式 ) 若函數(shù) f 在 [ π, π]? 上可積 , 則 ???? ? ?? ?2 π2 2 20π11( ) ( ) d . ( 1 )2 πnnna a b f x x為 ,nnab f其中 的傅里葉系數(shù) . (1)式稱為貝塞爾不等 式 . 貝塞爾（ 1784～ 1846） Bessel德國(guó)天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家 。 15歲輟學(xué)到不來(lái)梅一家商行做學(xué)徒，業(yè)余學(xué)習(xí)天文、地理和數(shù)學(xué)。 1810年任柯尼斯堡天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)，直至逝世。貝塞爾的主要貢獻(xiàn)在天文學(xué)，以 《 天文學(xué)基礎(chǔ) 》 （ 1818）為標(biāo)志發(fā)展了實(shí)驗(yàn)天文學(xué) ，還編制基本星表 ，測(cè)定恒星視差 ,預(yù)言伴星的存在，導(dǎo)出用于天文計(jì)算的貝塞爾公式 .他在數(shù)學(xué)研究中提出了貝塞爾函數(shù)，討論了該函數(shù)的一系列性質(zhì)及其求值方法，為解決物理學(xué)和天文學(xué)的有關(guān)問(wèn)題提供了重要工具。他六歲開(kāi)始上學(xué)， 14歲進(jìn)入大學(xué)預(yù)科學(xué)習(xí)， 19歲按其父親的意愿進(jìn)入哥廷根大學(xué)攻讀哲學(xué)和神學(xué)，以便將來(lái)繼承父志也當(dāng)一名牧師。當(dāng)時(shí)的哥廷根大學(xué)是世界數(shù)學(xué)的中心之一，一些著名的數(shù)學(xué)家如高斯在校執(zhí)教。 1847年，黎曼轉(zhuǎn)到柏林大學(xué)學(xué)習(xí)，成為雅可比、狄利克雷、施泰納、艾森斯坦的學(xué)生。 l851年，黎曼獲得數(shù)學(xué)博士學(xué)位； l854年被聘為哥廷根大學(xué)的編外講師； 1857年晉升為副教授；1859年接替去世的狄利克雷被聘為教授。 1866年 7月 20日病逝于意大利，終年 39歲。黎曼的著作不多，但卻異常深刻，極富于對(duì)概念的創(chuàng)造與想象。 復(fù)變函數(shù)論的奠基人 柯西、黎曼和維爾斯特拉斯是公認(rèn)的復(fù)變函數(shù)論的主要奠基人，而且后來(lái)證明在處理復(fù)函數(shù)理論的方法上黎曼的方法是本質(zhì)的，柯西和黎曼的思想被融合起來(lái)，而維爾斯特拉斯的思想可以從柯西 —黎曼的觀點(diǎn)推導(dǎo)出來(lái)。 1854年，黎曼為了取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，對(duì)全體教員作了一次演講。（另一種幾何： 羅氏幾何 ） 微積分理論的創(chuàng)造性貢獻(xiàn) 黎曼除對(duì)幾何和復(fù)變函數(shù)方面的開(kāi)拓性工作以外，還以其對(duì) l9世紀(jì)初興起的完善微積分理論的杰出貢獻(xiàn)載入史冊(cè)。波爾查諾、柯西、阿貝爾、狄利克雷、維爾斯特拉斯，都全力的投入到分析的嚴(yán)密化工作中。 1854年黎曼為取得哥廷根大學(xué)編外講師的資格，遞交了一篇論文 《 關(guān)于利用三角級(jí)數(shù)表示一個(gè)函數(shù)的可能性 》 。 柯西曾證明連續(xù)函數(shù)必定是可積的；黎曼指出可積函數(shù)不一定是連續(xù)的。黎曼給出了一個(gè)連續(xù)而不可微的著名反例，最終講清連續(xù)與可微的關(guān)系。 解析數(shù)論跨世紀(jì)的成果 19世紀(jì)數(shù)論中的一個(gè)重要發(fā)展是由狄利克雷開(kāi)創(chuàng)的解析方法和解析成果的導(dǎo)入，而黎曼開(kāi)創(chuàng)了用復(fù)解析函數(shù)研究數(shù)論問(wèn)題的先例，取得跨世紀(jì)的成果。這是一篇不到十頁(yè)、內(nèi)容極其深刻的論文，他將素?cái)?shù)的分布的問(wèn)題歸結(jié)為函數(shù)的問(wèn)題，現(xiàn)在稱為黎曼函數(shù)。 在黎曼死后的一百多年中，世界上許多最優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家盡了最大的努力想證明他的這些斷言，并在作出這些努力的過(guò)程中為分析創(chuàng)立了新的內(nèi)容豐富的新分支。 那個(gè)未解決的問(wèn)題現(xiàn)稱為 “ 黎曼猜想 ” (希爾伯特 23個(gè)問(wèn)題中的第 8個(gè)問(wèn)題 )，這個(gè)問(wèn)題迄今沒(méi)有人證明。黎曼的這一工作既是對(duì)解析數(shù)論理論的貢獻(xiàn)，也極大地豐富了復(fù)變函數(shù)論的內(nèi)容。還有一些看起來(lái)簡(jiǎn)單又長(zhǎng)期得不到解決的問(wèn)題：如哥尼斯堡七橋問(wèn)題、四色問(wèn)題，這些促使了人們對(duì)組合拓?fù)鋵W(xué)的研究。 黎曼在 1851年他的博士論文中，以及在他的阿貝爾函數(shù)的研究里都強(qiáng)調(diào)說(shuō)，要研究函數(shù)，就不可避免地需要位置分析學(xué)的一些定理。 代數(shù)幾何的開(kāi)源貢獻(xiàn) 19世紀(jì)后半葉 ,人們對(duì)黎曼研究阿貝爾積分和阿貝爾函數(shù)所創(chuàng)造的雙有理變換的方法產(chǎn)生極大的興趣。 在數(shù)學(xué)物理、微分方程等其他領(lǐng)域的豐碩成果 黎曼不但對(duì)純數(shù)學(xué)作出了劃時(shí)代的貢獻(xiàn)，他也十分關(guān)心物理及數(shù)學(xué)與物理世界的關(guān)系 .他是對(duì)沖擊波作數(shù)學(xué)處理的第一人。 Lebesgue 勒貝格是法國(guó)數(shù)學(xué)家。勒貝格的父親是一名印刷廠職工，酷愛(ài)讀書(shū)，很有教養(yǎng)。不幸的是，父親去世過(guò)早，家境衰落。 勒貝格在博韋讀完中學(xué)后，于 1894年入巴黎高等師范學(xué)校攻讀數(shù)學(xué)，并成為博雷爾的學(xué)生， 1897年獲該校碩士學(xué)位。 1902年在巴黎大學(xué)通過(guò)博士論文答辯 ,取得哲學(xué)博士學(xué)位。從 1906年起先后在普瓦蒂埃大學(xué)、巴黎大學(xué)、法蘭西學(xué)院任教， 1919年晉升為教授。 1924年成為倫敦?cái)?shù)學(xué)會(huì)榮譽(yù)會(huì)員。他還是前蘇聯(lián)科學(xué)院的通訊院士。 勒貝格的成名之作是他的論文 《 積分 ,長(zhǎng)度 ,面積 》 （ 1902年）和兩本專著 《 論三角級(jí)數(shù) 》 （ 1903年）、 《 積分與原函數(shù)的研究 》 （ 1904年）在 《 積分 ,長(zhǎng)度 ,面積 》 中 ,第一次闡明了他關(guān)于測(cè)度和積分的思想。于是按黎曼意義不可積的函數(shù) ,在勒貝格意義下卻變得可積。要想從一個(gè)不太抽象的角度，用幾句話就能概括勒貝格測(cè)度和勒貝格積分的概念及其在近代數(shù)學(xué)中的巨大作用，是極為困難的。第一，黎曼積分中的被積函數(shù)只能是定義在 R的閉區(qū)間上（或 Rn的閉連通區(qū)域上）的實(shí)值函數(shù)，但實(shí)際上有用的函數(shù) f，其定義域可以是 R或 Rn的某些適當(dāng)?shù)淖蛹?。第三，許多收斂的黎曼函數(shù)序列，其極限函數(shù)卻不是黎曼可積的，即使是黎曼可積的，但積分與求極限的過(guò)程也不是隨便可交換的。正是勒貝格在 20世紀(jì)初開(kāi)創(chuàng)的這些工作為掃除這些障礙提供了理論工具。收斂性的困難大大地減少了。 ” 勒貝格積分的理論是對(duì)積分學(xué)的重大突破。 美國(guó)數(shù)學(xué)史家克蘭說(shuō) :“勒貝格的工作是本世紀(jì)的一個(gè)偉大貢獻(xiàn) ,確實(shí)贏得了公認(rèn) ,但和通常一樣 ,也并不是沒(méi)有遭到一定的阻力的 .”數(shù)學(xué)家埃爾米特曾說(shuō) : “我懷著驚恐的心情對(duì)不可導(dǎo)函數(shù)的令人痛惜的禍害感到厭惡 .”當(dāng)勒貝格寫一篇討論不可微曲面 《 關(guān)于可應(yīng)用于平面的非直紋面短論 》 論文 ,埃爾米特就極力阻止它發(fā)表 .勒貝格從 1902年發(fā)表第一篇論文 《 積分 ,長(zhǎng)度 ,面積 》 起 ,有近十年的時(shí)間沒(méi)有在巴黎獲得職務(wù) ,直到 1910年 ,才被同意進(jìn)入巴黎大學(xué)任教。勒貝格的理論 ,不僅是對(duì)積分學(xué)的革命，而且也是傅里葉級(jí)數(shù)理論和位勢(shì)理論發(fā)展的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。因?yàn)榘柮滋乇憩F(xiàn)出來(lái)的恐懼和厭惡差不多每個(gè)人都會(huì)感覺(jué)到，所以任何時(shí)候，只要當(dāng)我試圖參加一個(gè)數(shù)學(xué)討論會(huì)時(shí)，總會(huì)有些分析家說(shuō)： ‘ 這不會(huì)使你感興趣的，我們?cè)谟懻撚袑?dǎo)數(shù)的函數(shù)。 ’” 但到了 20世紀(jì) 30年代，勒貝格積分論已廣為人知，并且在概率論、譜理論、泛函分析等方面獲得了廣泛的應(yīng)用。他的工作開(kāi)辟了分析學(xué)的新時(shí)代，對(duì) 20世紀(jì)數(shù)學(xué)產(chǎn)生了極為深遠(yuǎn)的影響。 在數(shù)學(xué)中以他的姓氏命名的有：勒貝格函數(shù)、勒貝格測(cè)度、勒貝格積分、勒貝格積分和、勒貝格空間、勒貝格面積、勒貝格準(zhǔn)則、勒貝格數(shù)、勒貝格點(diǎn)、勒貝格鏈、勒貝格譜、勒貝格維數(shù)、勒貝格分解、勒貝格分類、勒貝格不等式等，而以他的姓氏命名的定理有多種。 1795年創(chuàng)辦 ,后由于政府更迭而幾經(jīng)改組、封閉。總校分 3處，坐落于花都的于勒姆大街、朱丹大道和蒙突奇區(qū)。 經(jīng)過(guò) 200多年的發(fā)展 ,巴黎高等師范學(xué)校在法國(guó)可算是家喻戶曉，尤其是對(duì)于那些求知若渴的人們，這里既是知識(shí)的海洋，又是科技發(fā)展的溫床。 無(wú)論在哪一階段，高師都與時(shí)代保持著高度的默契 ,人才輩出 ,如開(kāi)生物學(xué)新紀(jì)元的亞雷斯和巴斯德，存在主義先鋒薩特，自由主義戰(zhàn)士雷蒙 高師是獨(dú)一無(wú)二的 ,她孕著革新的激情與反僵化的沖動(dòng) ,推動(dòng)著歷屆政府的改革與完善。 3 的 (21) 式 , 即 由上面這個(gè)積分看到 ,被積函數(shù)是周期為 的函數(shù) , 2?11si n1 2c os , ( 9 )22 si n2nkntktt???????????ππ1si n1 2( ) = ( ) d .π2 si n2nntS x f x t tt??????????這就得到 (8)式也稱為 f 的 傅里葉級(jí)數(shù)部分和的積分表達(dá)式 . 現(xiàn)在證明定理 (收斂定理 ).重新敘述如下 : [ π , π ] ,xf??光滑 , 則在每一點(diǎn) 的傅里葉級(jí)數(shù)收斂 于 f 在點(diǎn) x 的左、右極限的算術(shù)平均值 ,即 ??? ? ? ? ? ??01( 0 ) ( 0 ) ( c os si n ),22 nnnaf x f x a n x b n x,nnab f其中 為 的傅里葉系數(shù) . f [ π, π]?定理 若以 為周期的函數(shù) 在 上按段 2π證 只要證明在每一點(diǎn) x 處下述極限成立 : ( 0 ) ( 0 )lim ( ) 0 ,2 nnf x f x Sx??? ? ??? ??????ππ1si n( 0 ) ( 0 ) 1 2l i m ( ) d 0.2 π2 si n2nntf x f xf x t tt????????? ? ? ??? ? ??????即 或證明同時(shí) 有 π01si n( 0 ) 1 2l i m ( ) d 0, ( 10 )2 π2 si n2nntfxf x t tt???? ???????? ??? ? ??????0π1si n( 0 ) 1 2li m ( ) d 0. ( 11 )2 π2 si n2nntfxf x t tt????? ?????? ??? ? ??????與 先證明 (10) 式 . 對(duì) (9) 式積分后得到 ππ11si n1 1 12d c os d 1 ,π π 22 si n2nknxx kx xx????????????? ? ????????由于上式左邊為偶函數(shù) , 因此兩邊乘以 ( 0 )fx ? 后 又得到 π01si n( 0 ) 1 2( 0 ) d .2 π2 si n2ntfxf x tt?????? ?????π01si n1 2l i m [ ( 0 ) ( ) ] d 0. ( 12 )π2 si n2nntf x f x t tt?????????? ? ? ??( ) ( 0 )()2 si n2f x t f xtt? ? ? ???從而 (10)式可改寫為 令 ( ) ( 0 ) 2, ( 0, π ].si n2tf x t f xttt? ? ???? ? ?????0l i m ( ) ( 0 ) 1 ( 0 ) .t t f x f x??? ??? ? ? ? ? ? ?由 1