第六節(jié)傅里葉級(jí)數(shù)-閱讀頁
2025-08-04 20:17本頁面
【正文】 π)(]π,π[? ?????? zlf π 記 ，由歐拉 ——傅里葉公式確定 其展開式的系數(shù)，由定積分的換元法則， ??????? zlfzF π)(，令 xlx π? ,π xlz ?即),(πππ)( xfxllfzlfzF ???????????????于是 ,dπd xlz ?從而可得 ,d)(1d)(π1 π π0 ?? ?? ?? l l xxflzzFa??? π π dc o s)(π1 znzzFa n??? π π ds i n)(π1 znzzFb n),2,1( dπs i n)(1 ??? ?? nxl xnxfl l l，),2,1( dπc o s)(1 ??? ?? nxl xnxfl l l由此可確定傅里葉級(jí)數(shù) .πs i nπc o s210 ????????? ??nnn lxnblxnaa定理 在區(qū)間 [–l,l]上，若 f(x)滿足 167。2 )()(?? ? xfxf(3) 當(dāng) x= –l或 l時(shí)，和等于 .2 )()(?? ?? lflf(1) 當(dāng) x為 f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)，和等于 f(x)； 此級(jí)數(shù)收斂，它的和滿足： 例 5 將 f(x)=x(–2≤x＜ 2)展開為傅里葉級(jí)數(shù) . 解 由于 f(x)=x在 –2≤x＜ 2上展開，因此 l=2. 0 d21 d)(1220???????xxxxflall(對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)的積分等于 0) (對(duì)稱區(qū)間上奇函數(shù)的積分等于 0) 0 d2πc o s21 dπc o s)(122???????xxnxxxlnxflalln(n=1,2, ) ???? l ln xxlnxflb dπs i n)(1πc o sπ4 nn??).,2,1( π)1(41?????nnn(對(duì)稱區(qū)間上偶函數(shù)積分性質(zhì) ) ??20 d2πs in xxnx d2πs i n21 2 2??? xxnx2022 2πs i nπ42πc o sπ2?????? ???????? ?? xnnxnnx由此可得傅里葉級(jí)數(shù) .2πs i n)1(π411?????nn xnn由于 f(x)=x為 –2x2內(nèi)的連續(xù)函數(shù)， 因此在 –2x2內(nèi)有 .2πs i n)1(π411??????nn xnnx在 x= –2， x=2處上述傅里葉級(jí)數(shù)收斂于 .02 222 )2()2( ???????? ff相仿，如果 f(x)只定義在 [0,l]上， 也可以將 f(x)在 [0,l]上展開為正弦級(jí)數(shù) ,πs in1???nn lxnb,πc o s210 ????nn lxnaa或?qū)?f(x)在 [0,l]上展開為余弦級(jí)數(shù) ，),2,1( dπs i n)(2 0 ??? ? nxl xnxflb ln其中 ).,2,1,0( dπc o s)(2 0 ??? ? nxl xnxfla ln其中
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